CHAPITRE VI. — LA FONCTION CM. igS

formules fort simples, relatives à raddition des demi-périodes pour ces fonctions. Il y a quatre fonctions (i et trois demi-périodes, donc douze formules; mais nous les résumerons toutes dans trois seulement. A. cet effet, nous désignerons par Wa, (op, Wy trois demi-périodes, ayant zéro pour somme

Wa H- to)p H- (Oy = O.

Nous poserons, en outre,

et de même Up et Uy désigneront des quantités analogues; par la définition de ^a ", on peut écrire les deux formules suivantes :

Dans Tégalité

(j'( u 4- wp) = e^?" a'cop a'p m,

qui définit o^p, changeons tt en w -h Wa, et remplaçons 0)^4- wp par — (Oy, o^wp par son expression au moyen de Up; il viendra

a'( a — toy.) = e^?(«+wa) c* ^^ ***^ a'p( a -t- Wa) Up.

Comparant cette dernière égalité à la première ci-dessus, où l'on changera a en y» on aura successivement

a'( tt - toy ) = - c"'"'t("" « "^t) Uy o^y M,

Uy a'ytt

En vertu des égalités

Wa-H u)p-l- to)y= o, "'ia-^- TQp-*- T'iy= Oi

Fexposant de e, au second membre, se réduit à \{r\y,iù^ — ^p^a). Soient

^OL-PoL^ -f- q^tû\ (op = />pci) H- ^pci)',

on en conclut

T^awp — Tipa>a= C/^a^p — /?p^a)(T)Ci)'— V^) = (Poiqf^ — PfiÇa) — •

Soit, pour abréger

Les trois formules d'addition des demi-périodes s'écriront ainsi

(49) ; cï'a(aiha>a)==pe '^'V 2-)—:fu,

Par l'échange des indices a, p, y» ces trois formules donnent toutes les autres. On doit remarquer que les six nombres entiers tels que (a, P) se réduisent à deux, égaux et de signes contraires, parce que les trois entiers/? ont zéro pour somme, comme aussi les trois entiers q. De là résulte

Si, de plus, comme on doit le supposer, les trois demi-périodes sont différentes (aux périodes près), l'un, au moins, des deux entiers p, q^ dans chaque couple, doit être impair, et (a^) est un nombre impair. Cet entier (ap) est égal à di i, si les trois demipériodes, aux signes près, sont to, to', to".

Expression de p'u par les a'.

La fonction p' a a une expression remarquable par les fonctions 3'. D'après la relation

p' a = ih 2 v/(pa — e,)(pa--e,)(pa — 63), il apparaît que jfl u est le double produit des trois quantités ■^y mais avec quel signe ? Il suffit de considérer la valeur u =■ o, pour reconnaître que ce signe est négatif. Ainsi

Multiplication de l'argument dans ^u.

Si, dans la formule (12),

(5l) pU'—pV=-^ —i- 1 iy