CHAPITRE VI. — LA FONCTION oTe/. I

on fait tendre ^ vers w, après avoir pris les dérivées dans les deux membres par rapport à r, on obtient

(52). pu=-^^.

Ce résultat, comparé au précédent (5o), donne cet autre

(53) a'(aM) = 2a'ia tfia o'ja a'a.

Si l'on remplace di «, ^211, dzU, par leurs expressions convenablement choisies, on peut encore écrire

/çi^\ ^/^..\ ^g-Çg — (o)cr(M-h(o^-ha)) (f(u — (ù') <ïu^

(5Ja) (J{2U)= —7 jT-— — ; ,

les exponentielles disparaissent quand on prend ainsi les trois demi-périodes, de façon que leur somme soit nulle.

Cette formule de duplication de l'argument dans du peut être aisément généralisée et étendue à la multiplication par un entier quelconque. Dans (5i) faisons v = nu, nous aurons

(^(n-hi)u^(n — i)u p(nu) — pu = r-r — r--:i >

résultat que nous écrirons ainsi

(5,) p(nu)-^pu = ^ (3-ay^>^».« i^uyn-n^ [-V7^\ •

Si nous le comparons à la formule de multiplication (IV, i4)

(54«) pnu-pu==-^-^i±^'

nous ne pouvons manquer d'être frappés de la ressemblance des deux formules : elles coïncident si l'on assimile l'une à l'autre les

deux fonctions

o'(na)

<^/»(w) et

Or les valeurs initiales, pour l'une et l'autre, sont les suivantes (52 et IV, 7) :

Les deux fonctions coïncident donc pour les indices i et a. Si,

ig8 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

dans les formules (54) et (54«), on suppose ai =: q, on en conclut que les fonctions coïncident pour l'indice 3 ; en supposant ensuite /i = 3, on voit qu'elles coïncident pour l'indice 4? etc.. Donc, généralement,

(Ca)»*

Supposons d'abord n un nombre impair. Les /i*^"" parties de périodes sont en nombre (n^ — i), distinctes entre elles, à des périodes près. On peut les partager en deux groupes ; chacun des groupes est composé des éléments de l'autre groupe changés de signes. Alors a, a», ... étant les éléments d'un de ces groupes en nombre 5 (/i^ — i), la fonction <j'/i(w) est un polynôme entier en pu, savoir (IV, i3) :

ce que nous pouvons écrire, à cause de (5i);

^(u-ha)(^(u — a) ^(u-\- ai) ^(u — ai) i ^(nu)

^n{u)-n — (f(^a) ¥âi a'(— a,) * " (Ça)'»*-» ~ j^TïTp

Nous avons donc

/ X w (f(u-{-a) cf(u — a) ^(u-hai) ^{u — ai)

(îinu) ^^ n Œu — ; : -, — r — • • •

^ ^ (Ta a'(— a) ^(ai) ^{^— Uy)

Si nous modifions chaque terme r — - en remplaçant b par

è -f- 2(5, ce terme se reproduit multiplié par l'exponentielle e^^<". Si nous choisissons les divers G) de façon que leur somme soit nuUe^ la somme des t\ correspondants sera nulle aussi. On peut donc généralement écrire

(56) *(n«)^na'«^"^«) *(" + "■>

a,«i, ... reproduisent, à des périodes près, les /i''"" parties de période, en nombre (/i^ — i), et sont choisies de façon que leur somme soit nulle.

En second lieu, si n est un nombre pair, %^ — - est encore un

' ^ ^ p II

polynôme analogue, du degré > en pu. Par les mêmes consi-