CHAPITRE I

De là résultent les premiers termes de l'équation en z :

C'est cette équation qu'il s'agit d'obtenir complètement, et nous observerons d'abord que tous ses coefficients sont, non seulement rationnels, mais entiers en g2 et ^3. Les z sont, en effet, des fonctions entières des racines .r, et l'équation en x, dont le premier coefficient est l'unité, a pour coefficients des fonctions entières. Il en résulte que les z ne deviennent infinis pour aucune valeur finie de g2 et g^ ; ce sont, comme on dit parfois, des fonctions algébriques entières, exprimant par cette locution que les coefficients sont entiers, le premier d'entre eux étant l'unité.

Quand le discriminant A s'évanouit, on a vu que cinq racines x sont égales à — 2A; la sixième est égale à loA. Quel que soit l'indice [j., on a, en ce cas, suivant ( 28),

Le premier membre de l'équation en z se réduit alors à (^4- ^9)^. A cause de l'homogénéité, on voit donc que l'équation a, en général, la forme ci-après :

dans laquelle a^ p, y sont numériques, ce qui est d'accord avec la forme (2g), trouvée déjà pour les premiers termes.

En prenant le cas particulier ^3 =: o , on devra trouver l'équation

Pour déterminer les trois coefficients, il suffira donc de faire le calcul effectif dans ce cas particulier.

On a vu que, dans ce cas, deux racines x sont nulles ; prenonsles pour^ et^o- Les quatre autres racines sont dry/^gÇ et zb \Jg'^>^' , q et ^' étant elles-mêmes les racines de l'équation du second degré (19). Les quatre quantités a, h, cIq, Ôq sont contenues dans une seule formule (18) où l'on doit prendre les diverses combinaisons de deux doubles signes. Prenons a et ciq conjugués; b et ^0 le sont aussi : .r, et x^ sont donc des quantités réelles, suivant

l6 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

les formules (21, 23). Elles répondent donc à une même quantité ? ou ^'^ X2 et X's répondent à l'autre. En conséquence, on a

tandis que, pour les autres indices, Zm est égal à ih g2\/^l'i c'està-dire ± igr, y/ 5. Le signe + convient à deux indices, le signe — aux deux autres. Ainsi, pour g^ = o, l'équation en :; se réduit à

(3i) {z -f- 5^2) {z-ig.2 \/5)2 {z -f- ig.2 v/5)2 = o

ou bien

-S5 -u 5^2^4--i- io^|53 i 5o^|^2( 1Ô g\z -T- ii5 gl — O , {z ^ g^f ^ \gl{ioz'' ~ s g.Z -^ Zl gl) = 0.

Voici donc, dans le cas général, V équation cherchée :

{z -f- ^2)^ -i- 4A( 10^2 + 5^0.^^ ^Zigl)^ o. En posant

et, comme on l'a déjà fait souvent,

on réduit cette équation à la forme

(32) JZ5 + 4(ioZ2— i5Z-^36) = o.

La décomposition (3i) du premier membre, dans le cas g^ = o, montre que cette équation peut s'écrire aussi de la manière 'suivante :

Si l'on pose donc

CHAPlTRi: I. ly

on aura, après avoir extrait la racine carrée, cette autre Iransl'ormée

(35) /( X) = Xs- \^ X^^ -- 3X - ^5 ^T-~i ^ o.

Le caractère essentiel de cette dernière équation consiste en ce que la dérivée de son premier membre est un carré :

En outre, ses racines, déjà définies par la relation (34), sont susceptibles d'une autre interprétation extrêmement remarquable et dont nous allons parler.

Seconde expression des racines de la résolvante.

Prenons comme donnée une racine Zo de l'équation (33) : l'invariant absolu J s'en déduit sans ambiouïté. A cause de l'homogénéité, nous pouvons supposer qu'on prenne g^ =. i ^ en sorte que A est l'inverse de J." Quant à l'invariant «3, il a deux déterminations, résultant de l'égalité

En conséquence, toute fonction rationnelle de Zo et des invariants devient, au point de vue actuel, une fonction algébrique, mais non rationnelle de Zq, en général. Elle est rationnelle si le cliangement de signe de g:^ la laisse inaltérée. C'est ce qui a lieu pour toute combinaison des trois couples (j;,Xo), (X),X',) et (.Ta, J?^), ayant les mêmes symétries que Zq et. de plus, contenant à tous ses termes un nombre pair de facteurs x. En effet, le changement du signe de g^^ a pour effet de remplacer les fonctions p par de pareilles fonctions, affectées du signe moins, et chaque X est la somme de deux fonctions p.

Si, en outre, la combinaison choisie est homogène et qu'on la rende de degré zéro en la multipliant par une puissance du discriminant, on pourra trouver, pour la représenter, une expression rationnelle en Zq, à coefficients numériques; cette expression sera affranchie de la supposition ^^ = »•

l8 TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

Voici la combinaison sur laquelle nous allons porter notre attention :

[(7— ^))(/i— ^)(^2— Aj)p

Elle satisfait aux couditions dont nous venons de parler. Pour trouver son expression rationnelle en Zq, supposons encore, dans le raisonnement, ^2 = 1- Considérons la valeur particulière Zq = o, qui rend J infini, donc A nul. L'équation (g) montre, pour A infiniment petit, une racine finie et cinq racines respectivement

égales aux diverses déterminations de (-pjA-)^. Il en résulte, pour

T,), une partie principale proportionnelle à A ". Mais on a

^- j-^-rb^

Le dénominateur de To contient donc le lacteur Z^. De plus, il se réduit à ce seul facteur. En effet, A ne devient pas nul pour d'autres valeurs de Zq ; quant au numérateur de Tq, l'équation (9) montre qu'il devient infini avec A seulement et qu'alors

Tq reste fini, car les six racines t sont de l'ordre de A^ et ont des valeurs principales différentes.

Envisageons maintenant la valeur Zq = — /\, qui donne J= i, g3= o. Nous avons déjà examiné ce cas, qui correspond, pour;^o> à la valeur — ^§'2- Le facteur [t — ^0) n'est point nul; mais (t^ — t,,) et (/o — ^3) sont égaux à zéro. En effet, Xt elœ.r, sont les deux racines carrées d'une même quantité ^^^ et, d'autre part, l'égalité (8) donne, g^ étant nul.

Semblablement,

Le numérateur de To contient donc le facteur (Z-f-4), mais avec quel exposant?

Etant prévenus de Texistence de deux racines doubles dans l'équation (9) pour le cas o-jzzzo, nous mettons aisément cette équation sous la forme

(5r^ - 2.^-2 1 + ffl ){V' ~ g^ t - ^-1 y- - 27^-1 (10^3-