X-^X'=f, XX

Ces conditions sont efl'ectivement remplies par deux racines de l'équation en X dans le cas où l'on a A = J, comme le montre l'identité

CllAPITRR I.

On trouve alors, en meUant c = | à Ja place de X,

t, d'après les égalités (64),

D'autre part,

En mettant |^ à la place de p dans les égalités (63), on a maintenant

l= — {z-i, m=--—\z\ n^^lzK

Dénotons par ^o, au lieu de ^, cette racine qui doit être double ; nous avons, pour le polynôme (62), l'expression

z.yiz^-^'izoz'^^^^zlz-^lzl

par où l'on voit que ^0 est bien, effectivement, une racine double. Nous n'avons pas ainsi obtenu le cas général où le polynôme (62) aurait une racine double. Pour ce cas général, il doit se trouver, dans le polynôme en :?, une arbitraire de plus, et ce polynôme aura la forme

z"^-h 5lz^^ "y/Jiz 4- n ={z — ZofÇz'^-h 'iz^z^^ 3z^z -h p), d'après laquelle les coefiîcients sont déterminés comme il suit :

(84) 5Z = ^--4^^ 5m-3o(3^^- 23), n = zl^.

Pour ce cas général, où ^ diffère de |^y, il est clair que la racine p = ^z-o de l'équation (81) ne peut convenir. La seconde racine convient donc. Il faut donc, de toute nécessité, que les racines p de l'équation (67) coïncident, toutes deux, avec cette unique racine de l'équation actuelle. En d'autres termes, l'équation (67), e/i p, a une racine double en même temps que V équation proposée (62), en Z-.

44 TIIOISIÈME PARTIE.

FRAGMEXTS.

Nous vérifierons celte conséquence par un calcul direct. Cherchons d'abord, par l'équation (67), cette racine p. On a

(/??. ~- Iz)

Le coefficient de p-, dans ^I^(o), est

Comme ^(|^) est nid, on a donc

* (■' ^ r ) = ?rjr »= - -^TÏT-- » •

Prenant la racine .v (jui n'est [)as nulle, on conclul, pour 0, la valeur suivante :

4 jl(/n—lz)z- (:\7n'-h "j mlz ~- gl-z- )z

3 " 3( W^-f- '\7nlz -h l-z^) ~ 3(/y?2-4- 3//^/^ -f- /^ j>)

On remarquera, en passant, le cas de l'équation particulière (83), pour lequel m — Izq est nul, en sorte que la nouvelle racine p coïncide avec la précédente, comme cela devait être. Revenant au cas général, nous lirons de la dernière équation, en vertu de la relation (83),

T^ 5l/n(m — lz)z^- lz'^i?,in'^^ \inlz^ZP- z'^)

' 3 " 'U/n'^-t'dj/ilz-hl-z') 3( /H'^ -h of/il z -i- /' z-

En recourant encore à la relation (82), on voit le facteur du numérateur se réduire à S m- — In. Revenant aux notations antérieures, on a ainsi

3{/fi--h à/n/z -h l'Z^) ' Suivant les notations (76), nous avons

(w2. - ln)(^ni^-~ liiMz'*'—{m^--\-Znilz-^ r-z'')ln-^

/n^-T- 3 ml z -h i^z- — f^^H^'f^^- - 9ln)lz^ — (m-i-3lz)hnn^m- -h \mlz i i' z-