DIVISION DES PERIODES PAU

Équations générales pour la division des périodes par un nombre quelconque.

Soit n un entier par lequel on veut diviser une période 2( soient a, [^, y, o, ... divers entiers et considérons

Entre «, b, c, <:/, ... on peut trouver aisément des équations propres à déterminer ces quantités. Ajant choisi deux d'entre elles, a, b, caractérisées par les nombres a et [3, prenons la somme a-h p^ soit Y = a H- 3 cette somme. Les trois quantités a, b, c, d'après le théorème d'addition (t. I, p. 3o), sont alors racines d'une équation avant la forme

{'1) 4X3— ^-^X — ^3=.(XX-f- jj.)2^

où X est l'inconnue. On a donc

a -i- b ~ c = \ 1-, ah -v bc -h ca — — { g'-i — \ X;jt., abc == ^( ^'"a -h [J.- )

et, par conséquent,

( 3 ) ( a -H 6 H- c ) ( l a^c — ^3 ) — ( «y> -f- ^c -h ca H- |- ^''2 ) %

C'est, comme on voit, le théorème d'addition sous une forme spéciale où n'apparaissent que les fonctions p. Pour cette raison même, l'équation (3) traduit l'une quelconque des relations

48 TUOISI^:.ME PARTIi:. — FRAG.MKM'S.

Abrégeons le langage en désignant par [abc) cette équation ou son premier membre :

(abc) =: {ab -h bc -h ca H- l g-^)' — {a -i- b -r- c){^abc — ^3),

Avec a et b, il y a une autre quantité, analogue à c, qui donne lieu à pareille équation; ce sérac/, si l'on suppose o = a — ^. Nous avons ainsi les deux équations (^abc) et (^abd) et, parleur combinaison, l'équation nouvelle

(abc) — (abd) . , ,

'- = o —(ao\ CCI y,

plus simple en ce qu'elle est du troisième degré seulement. La voici développée :

(ab; cd) = (a — by-{c -\- d) — labi a -r- b)-^ \ gi{<^ -+- b)-{- g-^.

Parmi ces équations, il s'en trouve où deux quantités coïncident. Supposons, par exemple, p=:2a; alors 0 := — a, d==za.

Toutes les équations entre les quantités a, b, c^ ... forment un système surabondant, en apparence; elles sont, bien entendu, compatibles et peuvent servir à déterminer les inconnues. Nous allons les envisager dans le cas n = j et en déduire, ainsi qu'on l'a fait, au Chapitre 1, pour 11 = 5, des équations contenant seulement des fonctions symétriques de a, b^ c.

Équations symétriques pour la division par 7. Soient

■>.M \0J i)tO

au nombre de trois seulement, et donnant lieu aux équations

(abc), (aab), (bbc), (cca).

On en déduit les trois équations

{ab;ca), (bc;ab), (ca:bc),

que nous désignerons abréviativemcnt par A, H, G, en posant A = a^ — ^a'^b -^ b^c ^ a^c — b-a — 2 abc 4- i ^2 ( <^* -h b)-T- g^ = o,