CHAPITRE

On le complélera j)ar les termes provenant de o^^^, et que la forme (i5) met en évidence :

On pourrait, au moyen de celle équation, trouver les termes successifs du développement de la racine suivant les puissances ascendantes de £,

et en déduire ceux de <7, bj r, de (oa, etc. Tous ces développements contiennent seulement les puissances de £ à exposants entiers, comme il est évident.

Nous allons maintenant considérer les autres racines de l'équation (48). En posant

x = — Sy + a,

on obtient immédiatement

On voit que les développements de ces racines procèdent*suivanl les puissances de £ à exposants fractionnaires.

Par les équations (16) on trouve, pour y et Zj les valeurs limites 3y- et — Y^, en sorte que la limite de l'équation

(5i) a' — xa^-+-ya — ^ =0

est (a -;- y)"^ = o : les trois cjuantités a, b^ c ont, toutes trois, — v pour limite. Afin de les distinguer entre elles, il va être nécessaire de calculer jK jusqu'aux termes du troisième ordre, inclusivement, en a. Dans ce calcul, £, qui est du septième ordre, sera considéré comme nul.

Pour calculer j', le plus court est d'cmplojer l'équation (i3), en l'écrivant ainsi :

On en déduit, eu égard au degré d'approximation demandé,

y -+- J,^2 =672 — 9, ya — R = — 1 -rx — R, J^a seconde formule (16) donne alors

el l'équation (5f) prend la forme

Les parties principales des trois racines a + y sont a, — ^

, , T I a^ r a'^ Ti > • 1 11

c est-a-dire a, ? ^ -77 -i* H reste a savoir dans quel ordre

ces quantités correspondent à «, 6, c, ce que l'on poui'rait décider par le signe de t^ en calculant t par la troisième formule (16). Mais il faudrait alors calculer nn terme de plus dansjj^^t nous ne reproduirons pas ici ce calcul, auquel on peut suppléer comme il suit.

Supposons y et z réels, en sorte que les invariants soient réels. Pour 2w et 2to', prenons la période réelle et la période purement imaginaire, en sorte que les deux racines x et Xq soient réelles, les autres imaginaires. Fixons les idées en supposant ^3 positif, c'est-à-dire y>>o. Comme on a ^>>^q, c'est x qui se réduit à 21 y, tandis que Xq se réduit à — 3y quand £ est nul. Pour s infiniment petit, on a .To =^ — 3 y + ^-0. si l'on suppose

(52) «0 = — v/it''.3*.7'*s,

(îctte racine étant prise dans son acception arithmétique. Chaque autre racine s'obtiendra par la formule x =z — 3y -]- a, où l'on a u ra

aoe