VI Y

Nous avons supposera positif. Si l'on voulait supposer g-^ négatif, c'est-à-dire y << o, ce serait alors :r qui serait égal à — 3-/ + a„ ; les arguments de a, b^ c seraient f w, ^ to, | to, et l'on aurait a^ b^ c. En ce cas, a, b, c correspondent dans cet ordre, aux quantités (II) si £ est positif, aux quantités (I) si £ est négatif. Dans tous les cas, on a

to = -{a-h){b — c){c-a}:=- -i ^ -f-....

Il Y

On en peut conclure que les sept valeurs de t correspondant aux sept racines ^ = — 3 y -| a sont

/ -^ Ta'-.

Examinons maintenant les valeurs de y/^a, y/cp^^ V^?^'7 d'après les formules (35) :

Soit a =^ — y + Cl! . Les résultats précédents nous donnent

TKOISIÈME PAUTIi:

FRAGMENTS

Les trois quantités a' , b\ c' analogues sont a,

— est efral a

On trouve don(

v/'^a, s/?^", v/'fc =^'i\/-i^(Of., -1/— :>TY' — 7t/-^ï-,

Prenons seulement, de ces trois quantités, celle qui est de Tordre infinitésimal le moindre. On a vu tout à l'heure que, «3 étant positif, il y a deux cas à distinguer pour x^^, la partie principale a,) se rapportant à «o -f- y ou bien à Co-hy, nous avons donc

ao ou Co= — 7^3:0,

y/cp cIq ou V ? Co = '-i V -

ovao.

Considérons maintenant les égalités (36), en bornant les seconds membres aux termes du premier ordre en ay. Pour ce calcul, a et y/cpa doivent être réduits à leurs valeurs limites, puisque les aiigments de ces quantités sont du même ordre que s. En admettant que la partie principale ao se rapporte à «o + y? 1^^ première égalité donne

a -f- Y — ao

oa 1 s/ — 3 Y V 'f ^''

D'après les relations (45 ) et (45'), le second membre est îgal à

i 4- cos ± i sin I a,

le premier membre est égal à a obtient

a,, en sorte qu on

Les autres égalités (36) donneraient, de même, ^, et c, , (jui

ditfèrentde ^0 et de Cq seulement par le facteur e '' , multipliant le second terme. Sans nous y arrêter davantage, nous voyons qu'il en résulte, par addition.

aoe

CHAl'ITRE II. 71

Les égalités (89) à (43) donnent, pour les autres racines x-^-, . • • des valeurs semblables, qui diffèrent de eette dernière par le facteur exponentiel. Dans ^0, pai" exemple, le signe de l'exposant est changé; dans Xo, le nombre m, au lieu de se rapporter à a, se rapporte à b. Nous retrouvons donc bien ainsi les racines ^, telles que nous les connaissons déjà; mais nous pouvons aller au delà, en distinguant, pour chacune d'elles, l'exponentielle qui s'y rapporte.

Supposons Y >■ o, £ >> o et prenons "^ co, ^ (o, jto pour les arguments de rt, b, c; fto', yto', 4to' pour ceux de r/o, ^oi ^o, w étant

réel et co' purement imaginaire. Alors y'-^a et -\ cp^o doivent être

négatifs. Attribuons à a., b^ c les nombres /?z = i , 2, i; alors,

dans la seconde formule (4^'), v ^^"^ ^^'^ ^^^^^ P^'^^ avec sa détermination arithmétique. Gomme ao est négatif, l'égalité

v/cp «0 = '-^^ /— 3 Y ao montre que - y/ — 3 y doit être positif; ainsi (55) /— SY^^^V^T-

Le calcul qui a conduit à l'égalité (54') donne donc

2/7r Xi = — 3 Y -7- ao e "' .

Les relations (89)3(43) donnent ensuite, pour chaque racine j:,i^ le résultat suivant, relatif au cas où A est infiniment petit positif, et g-i positif :

Xfi= — 3 Y + aoe '^ ( n — o, 1,2, 3, 4? 5, 6),

Supposons, en second lieu, y > o, £ <C o, avec les mêmes suppositions sur les arguments et les nombres /n. La quantité y 3y doit être encore prise avec sa détermination arithmétique. On a maintenant, suivant Tordre (H),

y/çpco = 2 \/— 3Yao,

7'^ TR0ISIÈ3IE PAKTJi:. — FRAGMENTS.

|iii doit être le produil de i par un nombre positif. Comme ao est

positif, ^ y — 3y doit encore être positif et la relation (55) a lieu.

(Je n'est plus, toutefois, l'égalité (5/() qui a lieu, mais bien l'analogue où les lettres c remplacent les lettres a. On a donc

a"i = — 3 Y -h ao (? " .

Les résultats fournis parles autres égalités analogues se résument dans la formule