CHAPITRE H

^F sont des fonctions entières de g\ et g-;^. Voici comment on peut le prouver. Soient t^, t.,, ... les diverses racines t; considérons les polynômes, du septième degré en ^,

*,o^*i'i, -.in=^, ....

On a cette expression de ^'(0,

Xi, œ-2, • ■ • étant Jes racines x qui correspondent respectivement à ti^ ti-, - . • . EfFectivement, ^F(^), suivant cette formule, est un polvnôme du sixième degré qui, pour t = la^ se réduit à ^a^a(^a)- Mais ^a(^a) = ^'(^a)i donc ^'(t) est bien le polynôme demandé. Si maintenant Ton ordonne ^'(^) par rapport à ^, on voit que ses coefficients sont linéairement composés avec ceux de <[>, d'une part, et avec des sommes symétriques Xt t'I -\- X2t'.l-\- . . . . Une telle somme, absolument comme les coefficients de 4>, est une fonction entière de g.2 et g^. En effet, comme on l'a dit pour /, et comme on peut le répéter encore, les quantités x^^t'^ ne sont en aucun cas infinies, quand g2 et ^'3 restent finies. L'équation du huitième degré, qui a ces quantités pour racines, a donc pour coefficients des fonctions entières, quand le premier coefficient est réduit lui-même à être numérique. La somme de ces cjuantités est ainsi une fonction entière.

Par exemple, la somme S^a^a,? entière et du quatrième degré, reproduit «■;, sauf un coefficient numérique; la somme S^^^a? ^e même, est proportionnelle à gigi- Les coefficients numériques se trouvent aisément au moyen de la racine /, qui n'est pas nulle avec A ; on a, pour A = o,

^ = — ^— é^3 = -^r- T ' x = '2iY, ^^=. 2«. 3^. 74 = 22.32^1, •

(Gi)

^a/a^(G^2)-, ^^^y.tl= ^ Slg-i,

^ot^i— 03^3 y.oooitr

78 TKOlSltMK l>AimK. — FRAGMExMS.

Par les mêmes considérations, on voit de suite que la quantité

est divisible par A.

Revenons à ^V(l) que l'on peut former comme il suit. Nous avons

(i>i(^) =^ yij'-^ tit^-\- t\t^-':-. . .-^t])

Se souvenant qne Sj:'^ est nul et observant les relations ((J i , ()2), on trouve, de suite,

le terme en f manque, et tous les autres, sauf le premier, contiennent le facteur A, si toutefois ils existent; c'est ce qu'il faut examiner.

Soit II l'exposant de A dans le coefficient de /'". En supposant A évanouissant et prenant pour t une des racines infiniment petites, on voit que ce terme devient infiniment petit de l'ordre n -\- \ m.

Deux semblables termes donnent ainsi des infiniment petits d'ordres différents, /i-f-ym, n'-\-\in'\ car melni' sont moindres que 7 et i{m — m') ne peut être entier, quand m et m' diffèrent. Cela étant, la partie principale de ^F(^) a, pour ordre, le plus petit des nombres ii-\-jin. D'autre part, le dénominateur <t'(^), égal au produit des différences de la racine considérée avec les autres racines, contient six facteurs de l'ordre 4; il est donc de Tordre^. Comme x a une valeur finie — Sy, le numérateur doit être aussi de l'ordre 'K' et l'on a, pour chaque terme de ^'(^) contenant le facteur A"Z"% la condition

Mais, à cause de l'homogénéité, 611 -\- Zm, qui est le degré de A"^'", doit être, au plus, égal à 22, degré de ^F(^), quand «o? g•^^ ^ sont considérés comme étant des degrés 2,3,3. D'ailleurs, 6/? -f- 3//^ est divisible par 3, donc au plus égal à 21; ainsi