CHAPITRE II. 8l

la résolvante s'abaisse au quatrième degré et s'écrit ainsi :

Le théorème d'homogénéité (t. I, p. 82), pour le cas ^3=0, donne

p(iu) — — pu, p'{iu) ~ ip'u.

Si Ton y joint la propriété consistant en ce que deux périodes ont un rapport égal à i (t. I, p. 64), on sait d'avance que, a et y/cpa étant les valeurs de p et de p' pour une partie aliquote de période, il en est autant pour — a et i\ioa. C'est aussi ce qu'on retrouve par les formules (16) : «3 étant nul, le changement de ^ en — x entraîne celui de .3 en — ^, sans altération pour y.

Dans les formules du paragraphe précédent, qui servent à déduire six racines de deux d'entre elles, nous allons supposer les deux racines initiales x et ^0 égales et de signes opposés, répondant ainsi à une seule racine \ de l'équation {fi^\ Nous supposerons, en outre, \Jx^^=^ — i\lx^ ce qui donne

a -I- «Q = o, 6 -r- èo — o, c -f- Co = o,

Par les égalités (36, 38), on a

( ia\/oai^=^ — [a -h «i-f- i(a — ai)]v/^a,

avec les analogues, obtenues par permutation des lettres.

Les égalités suivantes (39) proviennent d'un changement de signe sur ^x\ mais, \/xq devant rester inaltéré, il faut ici changer i en — ?, pour respecter l'hypothèse ^Xq -- — i\Jx»

On a donc

ia\/oa^= {a -r- a^ — i{a — af,)\\/^a = — t{a~r- a^-^ i{a — ai)]y/ç«,

Les formules (4<^0 donnent

— (a -H b)\oa^i= {a -r- a=,) \J o b -\- {b — a=i)i^oa.

(68) l ' fi\ a^b

Les suivantes, après une permutation circulaire de toutes les lettres, donnent aussi

a — b -{-bi= -{ "-^ r-^— ^ — (b — a -i- a^), b^^ — a^,

— (rt -h b)\'ob>, = {a^— b)sj fo a -^ { a -^ ai)i^ ob ^ (69) «2 -+-^3=0, \/ob-i= i^oa-i^

à quoi il faut ajouter les relations analogues que fournit la permutation circulaire remplaçant «, 6, c par b, c, a ou c, a, Z^.

Les formules (4^) et (4^^) dérivent des précédentes, (4o) et (4i) par le changement du signe de \x, lequel doit ici être accompagné du changement de i en — ;, comme on l'a dit précédemment; on a donc, semblahlement,

avec les relations qui en découlent par la permutation circulaire. Nous connaissons maintenant la correspondance des huit racines X avec les quatre racines ^, savoir :

D'après l'égalité (67) et ses analogues, on a

i l^a ob o

C'est une fonction symétrique en a, ^, c, une fonction rationnelle de x^ par conséquent. C'est, de plus, une fonction impaire, puisqu'on a ici

— Xq =