n, h r o \ fTT

et substituant les expressions de y et de xz^ que donnent les égalités (16). Mais nous suivrons une autre voie, en retenant cette conséquence que, en élevant au carré, on a

f\ désignant une fonction rationnelle. Cette égalité traduit une substitution qui conduit de la racine ^ à la racine ^<.

Les mêmes circonstances se présentent dans les formules (6'8). En développant le carré de y/cp6 — iycpa et utilisant les équations (35), on obtient une fonction rationnelle. Par l'addition de trois égalités semblables, nous aurons X2 en fonction rationnelle de X, jK, ^, «, h, c, et cette fonction sera symétrique en a, Z>, c. Elle est donc, finalement, rationnelle en .27 ; de plus, elle est impaire et l'on en conclura

/o désignant une nouvelle fonction rationnelle. C'est une seconde substitution, conduisant de la racine ^ à la racine ^o- Cette substitution est imaginaire. Il est clair enfin que la substitution conjuguée conduit de ^ à ^3,

Ml)-

Pour se rendre compte de l'effet de ces substitutions, appliquées aux autres racines, il suffît de considérer les arguments elliptiques qui correspondent à ces racines.

boient — ■ et — les arguments cjui correspondent a x et .Tq. Ces deux arguments, ici équivalents, correspondent à ^. En même

, 1 ^ ^.to'-^ 9. W 9to'-hT9tO ,

temps, Jes deux arguments et — correspondent

ai,.

OT 9. Oj'-!- 4 W n 1 r

n peut prendre pour 1 argument de X2 et, par couse-

quent, de Ço- La seconde forme, équivalente ici, n'est point j argument de «3 , mais bien, suivant l'égalité (69),

? argument de 6^3 .

Semblablement, on peut prendre pour argument de ^3.

C'est l'argument de «4. Suivant l'analogue de l'égalité (70), on a

et la seconde forme de l'argument de ^3 est ^

On retrouve ces mêmes résultats en supposant to'= iiù. On a, de la sorte, les égalités

. 2 tO

1 2 to

4co

4ow

qui mettent en relief l'équivalence des deux arguments attribués, ad libitum, à chacune des racines Ç, ^,, H2, ^3.

Al 2(0 2W' ., , , , , .

Avec les arguments — et — attribues a a et Œq^ les substitu-

tions ci-dessus donnent les résultats suivants :

/ i(;) = ;i5 tl argument ^- + --•,

Avec les arguments et , attribues a a^ et a^.

elles donneront, de même,

fi ti) d arirument : :=2-