partie supérieure, parle changement du signe de ^3, et en outre

( remplaçant Xi,

I par — ccq,

La partie moyenne du Tableau correspond aux discriminants positifs. Les résultats relatifs aux valeurs extrêmes, ainsi qu'à ^3=0, ont été trouvés précédemment. Pour g^ = g\^^ deux racines conjuguées deviennent égales entre elles et leurs parties imaginaires changent de signe : la considération des signes des

Xi,

parties imagmaires, pour g.^=^i/ f^l et pour ^'3

que ce changement de signe concerne œ.^ et ^3. C'est de la même manière que Fou trouve les racines devenant purement imaginaires

pour ^3 = ^'3. Entre^'3=o et ^3— — é//Çj , les résultats se

déduisent de ces derniers par les changements (A).

11 n'y a aucune continuité entre les fonctions elliptiques quand le discriminant change de signe. Mais les quantités Xm, fonctions algébriques de ^^3, sont continues. C'est leur continuité qui est figurée dans le Tableau par la disposition des colonnes verticales. D'après les égalités (56) et (5^), donnant, toutes deux, l'expression approchée de chaque racine pour ^3 = I / (0-^) > et relatives,

la seconde^ aux valeurs supérieures, la première aux valeurs inférieures de ^'3, on voit que la même racine dénommée x,n dans la partie supérieure du Tableau doit être dénommée œ.uu dans la partie moyenne, l'indice ^jn étant d'ailleurs pris aux multiples près de j. Pour connaître ensuite les indices relatifs à la partie inférieure du Tableau, il faut faire d'abord la substitution (A), puis

diviser chaque indice par 4? et faire, de nouveau, la substitution (A). Par ces opérations, l'indice m de la partie supérieure, devenu 6^in dans la partie moyenne, est changé successivement en

— - — 5 7. — ■) i6/?i. Ce dernier nombre, qui se réduit à 2/71

4 fn ibm ' ^

(mod n), est égal à l'indice demandé. Ainsi, par exemple, une

même racine de l'équation (i5), quand ^3 varie de + od à — 00,

est successivement dénommée ^i, ^4 et ^o*

Généralités sur la division des périodes par un nombre premier.

Nous allons passer en revue quelques-unes des propriétés, reconnues précédemment dans la division des périodes par 5 et par ^, et qui peuvent être étendues à la division par un nombre premier quelconque. Soit n ce nombre premier. Les n^^^^^ parties de périodes, c'est-à-dire les arguments dont le produit par n fait une période, étant pris pour arguments de la fonction p, font acquérir à cette fonction des valeurs en nombre ~(n- — 1). Ces valeurs de p peuvent aussi être définies comme étant les racines d'une équation algébrique <]^«=o (t. I, p. 99); mais l'analyse employée ici les fait trouver d'une autre manière. Soit a l'une

d'elles, répondant à l'argument — ? 2co étant une période quelconque. Aux multiples de cet argument répondent d'autres valeurs de j3, analogues, que nous désignons par b, c, d^ ..., comme nous l'avons fait au début de ce Chapitre. Entre <7, b^ c, d^ ... nous avons vu comment on peut former des équations algébriques. Ces équations, dans leur ensemble, sont entièrement symétriques relativement à a, 6, c, t/, . . . , et c'est là une propriété essentielle, qui n'aurait point lieu si n n'était point un nombre premier. Multipliant, en effet, une /^i'^™*^ partie de période par les nombres i, 2, 3, ... (/? — i), on obtient, quand n est premier, de nouveaux arguments qui sont, eux-mêmes, des /i^^'"^^ parties de périodes et dont les différences, deux à deux, ne peuvent être des périodes : en prenant donc, pour lettre initiale, Z>, c, . . . au lieu de a, on retrouve, dans un autre ordre, toutes ces mêmes quantités. Au contraire, quand n n'est pas premier, il existe, dans la suite i , 2, 3, . . . ,