CHAPITRE II

(/i — i), des nombres qui ne sont pas premiers avec ii : en multipliant, par un tel nombre, le premier argument, on n'obtient pas, à proprement parler, une /i'^'»*^ partie de période, mais un argument — 7 jn étant un diviseur de n. La quantité b^ qui répond à

cet argument, ne peut évidemment remplacer a dans l'analyse qu'on vient de rappeler et les équations, dans leur ensemble, présentent une dissymétrie. Nous n'avons pas à insister sur ce point, pour le m-oment; nous voulons supposer, pour /z, un nombre premier. La symétrie des équations conduit à prendre, pour inconnues, des fonctions symétriques de a, 6, c, c/, ... ; ce seront les coefficients x, x' ^ x' , ... de l'équation

( 88 ) a^— xay-'^ -\~ x' a^-2 — x" a'^-^ . . . = o,

admettant a, b, c^ d, ... pour racines. Son degré v est égal à

!;(n — i); car les arguments et ■ donnent une seule

et même valeur à la fonction p. Dans la division par 5 et par j, nous avons mis x^ y, z au lieu de x, x\ x" .

On pourra choisir, pour inconnue, le premier coefficient x. II sera fourni par une équation algébrique, et les autres coeflicienls x\ x" ^ . . . s'exprimeront en fonction rationnelle de x. Le degré de l'équation résolvante en x est égal au nombre des groupes analogues à a, 6, c, cl, . . . . Deux groupes ne peuvent avoir aucun terme commun ; chacun comprend ^ (n — i) termes et l'ensemble en contient j ( /i- — i). Le nombre des groupes est donc /z -}- i ; tel est le degré de la résolvante en x, et nous avons trouvé efiectivement les degrés 6 et 8 dans les cas /i = 5 et /z = 7.

La résolvante en ^ a pour coefficients des polynômes entiers en «2 et g^ c[uand le premier coefficient est réduit à l'unité; c'est ce que, dans un langage abrégé, on exprime en disant que x est une fonction algébrique entière. En effet, d'après la forme de l'équation ^,^ = o, toutes les quantités a, b^ c, . . . sont des fonctions algébriques entières; il en est donc autant de la somme de quelques-unes d'entre elles. La même propriété a lieu pour x', x", .... C'est ce qu'on voit aussi par la considération du cas où le discriminant est évanouissant, seul cas où l'on pourrait craindre

que ^pût devenir infini. La série à double indice (t. T, p. 366)

pii= ^ > I

U- .Âd\^{U — W )'^

donne, pour ce cas, un renseignement immédiat. Supposons, en effet, infinie une période 2w', tandis qu'une autre, 2(o, reste finie. Alors (V, qui est une période quelconque 2^03 + 2m' co', est infinie, sauf quand on prend m' = o. De même, si Ton suppose

U est infini sauf si Ton aA'=^ o. Il suit de là, en premier lieu, que les diverses quantités j3 sont représentées chacune par une

,••11 r ' 1 > 2 A to , 1 ,

série simple, la précédente ou a = •> et ou sv prend toutes les

valeurs '>.in^. iin second lieu, toutes les quantités p

où Jy n'est pas nul, se réduisent à l'unique série simple — ^ —^ où w prend les valeurs iniiù.

Ainsi, quand le discriminant s'évanouit, toutes les quantités a^ ^,... restent finies; en outre, dans tous les groupes, sauf un seul, elles prennent une seule et même valeur. Outre que nous reconnaissons, de la sorte, la nature entière des coefficients de la résolvante, nous voyons encore que, le discriniinant s^ évanouissant, la résolvante a une racine multiple d^ ordre n. Voici le moyen le

plus simple de connaître cette racine. La série — \ — ,valeur

commune de toutes les quantités a, un seul groupe excepté, ne dépend point de n. Considérons donc le cas n =z 2. Le discriminant s'évanouissant, deux racines e^ deviennent égales entre elles ; leur valeur commune est celle de la série. En supposant, comme précédemment (46)î

£ étant évanouissant, on a, pour la racine double du polynôme 45^ — g^s — ^-3, la valeur — y. C'est donc ~r, {n — i)Yà quoi se réduit la racine multiple. Comme d'ailleurs, vu l'homogénéité, la somme des racines ^est nulle, on a immédiatement la racine simple :