CHAPITRE II

A i'égard de la somme (109), il n'y a pas lieu de chercher une propriété analogue, cette somme n'étant pas une fonction symétrique de X et de x^^. Quant aux autres, elles sont effectivement des fonctions symétriques de x et de x^^ et l'on doit, avant tout, examiner si, dans les substitutions considérées, l'irrationnelle adjointe conserve son signe.

D'après nos propositions générales, il en est ainsi à la condition que a/-(i — p) déterminant de la substitution (io4) soit un résidu. Or c'est ce qui a lieu effectivement pour les cas 11^=^^^ p r::^ 3 ct /z = 1 1 , p =:^ 2, puisquc OL cst un résidu et que r et i — p sont non-résidus.

A l'égard des sommes (iii) et(ii3), leurs expressions ration nelles en fonction de racines satisfont donc aux conditions

F(^, Xq) = F(a7o,^) = F(xa, ^pa) = F(>2^paj^a) =• ••

et F contient, dans ses coefficients, l'irrationnelle y/ — /z, prise partout avec une seule détermination. Dès lors, cette irrationnelle n'empêche point d'appliquer à ces fonctions la même analyse qu'à la fonction (loo) du cas ii=. 5. Voici donc la conclusion :

Pour n=z'j^ la somme (iii) est racine d'une équation du septième degré dont les coefficients sont des fonctions entières

de g 2, gi et de y/— 7-

Si l'on y change le signe de y^ — 7, on obtient une écjuation à lacjuelle satisfait la somme (112).

Pour n=-iifde même, les sommes [i 1 3) e^ (i i 4 ) sont racines de deux équations du onzième degré , conjuguées , dont les coefficients sont des fonctions entières de g^, g^ et de y — 1 1.

Ainsi qu'on l'a déjà observé pour n = 5, ces résultats s'appliquent aussi à chaque combinaison qui présente, en commun avec les sommes précédentes, ce caractère : elle contient les racines x accouplées de la même manière; elle est symétrique par rapport aux éléments d'un même couple et symétrique aussi par rapport à deux couples quelconques.

Par le moyen de ces combinaisons, on obtient, dans les cas

3o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.

n = o^'j ou II, une équation de la division des périodes qui est seulement du degré /?, au lieu de /z-'-i. Cet abaissement d\me unité dans le degré ne se produit dans aucun autre cas, les invariants «"o , g-i restant, bien entendu, indéterminés. Voici comment on peut le démontrer. En premier lieu, une fonction des racines ^, entièrement donnée et rationnelle, est susceptible de (/i -^ i)n{n — i) valeurs, quand elle est quelconque. On peut effectivement choisir arbitrairement, de (n-i~i)n manières, deux d'entre elles pour leur faire jouer le rôle de x et Xq^ après quoi il y a /i -- I manières de fixer l'ensemble des autres racines. Ce dernier nombre est réduit de moitié par l'adjonction de y dz n. Ainsi, par cette adjonction, le nombre des valeurs d'une fonction des racines est généralement |(/i -\- i)n(n — i). Le facteur premier ji suffit à faire connaître l'impossibilité d'une transformée ayant un degré moindre que n. Supposons donc l'existence effective d'une combinaison S qui satisfasse à une équation du degré n. Exprimons S en fonction de deux racines x el Xq', S devient ainsi une fonction algébrique F(^, Xq) dont nous envisageons une détermination. On ne saurait avoir F(x^ x^) ^=r F(x^ Xq). En efiet , les n quantités F(.r, x^^) seraient alors égales entre elles. Après \v choix de la racine initiale x, celui de Xq serait indifférent; le nombre des valeurs de S, avec l'adjonction de l'irrationnelle, serait donc ^(n -{- i)(n — i) ou un diviseur de ce nombre, ce qui est impossible, l'hypothèse étant que S a /i valeurs et que n est premier. Les 71 valeurs de S doivent donc être F(^, Xq), F[x, X\ ), • . . et, par conséquent, F(^,^o) doit avoir une seule valeur dès que X et x^ sont choisies. Donc, enfin, la constitution de S doit permettre l'accouplement des racines deux à deux suivant les lois étudiées précédemment. En conclusion finale, quand les invariants g2 et gs restent indéterminés, les seuls cas oit la division des périodes, par le nombre premier n^ dépende d^ une équation ayant un degré inférieur à /z, sont les suivants : n-^^^ 'j ou II. Ce théorème est dû à Galois ( ^ ).

(') Outre le Mémoire de M. Hennite, cilé en tête de ce Chapitre, voir, sur ce sujet, la Lettre de Galois à MJ'Auguste Clievalier {Journal de Math-éniatiques, t. XI, p, 4o8; année 1846); — un Mémoire de M. Bctti, intitulé: Sopra abbassamento delV equazioni modulari {Annali di Tortoliiii; i853); — le Traité des substitutions , par M. Camille Jordan (p. 347).