IX -r- r

se reproduit dans les substitutions remplaçant ^. par a

où a est un quelconque des résidus, ;• un quelconque des non-résidus. La fonction conjuguée

(l t4) XXi)-i~ XiX(i-^ X^X-^-^X'^X^^-^- X-^X^-~ X<iX'^^

se reproduit de même quand a est remplace par a —^ — — -; c est ce qu'on trouverait en envisageant le cas p ^ 6.

Pour le cas p = 7, p H- 3 est non-résidu et il n'est pas nécessaire d'aller au delà. On peut, dès lors, conclure que les deux sommes correspondant à p =; 7 et à p -- 8 ne peuvent se reproduire elles-mêmes quand le couple xx^^ est changé en un autre couple.

Parmi les diverses sommes que nous venons d'envisager, la première (io3) a été étudiée dans le premier Chapitre. Nous avons vu que ses propriétés entraînent la conséquence suivante : cette fonction satisfait à une équation du cinquième degré, dont les coefficients sont entiers en ^'2 et ^'-3. Une propriété analogue existe-t-elle pour les autres sommes? Telle est la question qu'il faut traiter.