CHAPITRE II. l4l

Mais c'est là précisément le produit de ces quantités, dans tous les cas. Ce produit est, en effet, celui de toutes les différences des quantités ^, prises deux à deux, c'est-à-dire la racine carrée du discriminant de l'équation en t^ dont on a trouvé précédemment l'expression (60).

Nous connaissons, dès à présent, le dernier terme de l'équation en T: c'est la quantité (laS), changée de signe. De plus, l'expression de Tjj^mène à Tobservation suivante : dans l'équation en T, le coefficient de T'", sauf pour m ^=:z -j et m = o, doit contenir le

facteur A avec un exposant zi, tel que l'on ait ii + — — >> 12.

On trouve par là, pour /i, les limites inférieures successives 2, 4, 6, 7, 9, II. Eu égard à l'homogénéité, on peut conclure que l'équation a la forme suivante

/ T^-f^aASTe-HèA^T^-HcAfiT^— AA-T3

OÙ a, h^ c sont numériques, tandis que A, B, G sont des binômes de la forme egl +/A, e et /étant numériques.

En revenant au cas ^2= o, nous voyons que B et G se réduisent au seul terme en gl^ puisqu'on a, dans ce cas, la racine triple T = o. En outre, supposant g2 infiniment petit, on a vu que les trois racines infiniment petites, Tj, T^, Tq, sont infiniment petites du second ordre en gw c'est ce que montre l'égalité (128). Il en résulte que G est nul. L'équation en T prend donc la forme

I T"-haA2T6-T-6AiT5-i-oAGT^

et, d'après les résultats trouvés pour le cas g2 ^^ o, on a immédiatement

(128) T^-t-aT3-f-6T2-^cT-T-/:= fx— ^ ' ~^ ) (T + y/^),

en sorte que les coefficients e, h restent seuls inconnus.

Une vérification s'offre de plus. Gette équation (126) donne,

l.\2 TROISIÈME PARTIE. — FRAG3IENTS.

en effet, pour les racines infiniment petites avec «"o,

On a f par l'identité (12S) et l'on peut en conclure T, "dont la partie principale coïncide effectivement avec celle que donne la formule (i!^^-3).

Tjaissons de côté, pour le moment, le calcul des coefficients e, h. Nous avons en vue un autre but, trouver la relation entre T et \. INIais, d'abord, changeons la forme de l'équation (12^) en posant

ce qui donne

7* équation entière entre S et J.

Semblablement, en posant

après avoir écrit l'équation en Y ainsi

un la met sous la forme

(i3o) Z7 + j(aZ'^H-3Z=^-T-YZ2-^oZ-4-£;4- ^(8'Z-f-£')= o.

On peut exprimer S en fonction rationnelle de Z, de ^o et ^3; mais S et Z sont des invariants absolus, c'est-à-dire ne dépendant point de la constante d'homogénéité \ que l'on introduit, à volonté, en multipliant g2 et g^ pari- et ).=' ; S s'exprime donc par Z et J seulement. Cette expression est rationnelle; car ^3, dans l'expression de S en Z, g2 et g^ ne peut figurer qu'avec des exposants pairs, comme on l'a vu (17) dans une analyse semblable. Mais J est une fonction de Z, que définit l'équation (i3o), du second degré en J. Donc S s'exprime, en fonction de Z, par une équation du second degré en S.

On peut intervertir, dans ce raisonnement, S et Z et conclure