CHAPITRE II

que S et Z sont liés par une équation du second degré par rapport à chacune de ces deux quantités, une équation biquadratique.

Nous distinguerons les racines S de l'équation (129) et les racines Z de l'équation (i3o) par les mêmes indices que T et Y, et ces indices se correspondent, en sorte que, simultanément, S et Z prennent les valeurs S^, et Z^,. Qand g2 est nul, on a

S, - S4 - So = i (21 - ^"^^), S3 = - /=^, Si - S5 - So - o.

En même temps, comme on l'a vu, Yo, Y/,, Yq, ainsi que Y,, Y;j, Yfi, restent finis, tandis que Y3 est infiniment petit avec ^o,

et son rapport à g^ est donné par l'égalité (121). Ainsi les va-

Y leurs de Z sont cxd et — ; cette dernière correspond à S.j. Gonsidé-

^rant les premières, on voit que Z devient infini pour S :;= o et pour

S= So- Le coefficient de Z- dans l'équation cherchée est donc

L'hypothèse J=:o (c'est-à-dire g^^o) est, d'après l'équation (i 29), la seule qui donne 8 = 0. On vient de voir que les valeurs de Z correspondantes sont infinies. Les termes indépendants de S se réduisent donc à un seul, le terme constant.

Envisageons maintenant le cas A=^o, c'est-à-dire J = ce. Toutes les valeurs de S sont infinies et celles de Z sont nulles. C'est le seul cas où S puisse être infini^ le coefficient de S- se compose donc d'un seul terme, qui contient Z-, puisqu'on a déjà reconnu l'existence du terme S (S— So)Z-. Mais Z peut être nul sans que J soit infini, comme le montre l'équation ()3o), donnant, à cet effet, la condition s'-f- Js rzz o. L'équation cherchée, grâce à ces observations, est réduite à la forme suivante :

(i3i) S (s — ^''"/""^ ) Z^-i-mSZ-^nS-^T? ==0,

où /7Z, 7Z, p sont numériques.

En vue de calculer ces coefficients, prenons d'abord le cas où A est évanouissant. Rappelons-nous les formules

2[X (Tî

144 TROISIÈME PARTIE. — FRAGiMENTS.

pour en conclure

Yo — 3^-2— ^-^0 ~- ^1 ^.J -i- ^2 -2^6 — ^4 ^5

= Y?o[2I — 3(p ~ p2— p3-^ pi-^ p5^ p6)J^ 2/TC

Yo--247po, Zo--2 2^%

tandis que la formule (124) donne Il en résulte

et, si l'on prend dans l'équation (i3i), les termes de l'ordre le plus élevé,

Prenons, en second lieu, le cas où go est infiniment petit; considérons 1\, donné par la formule (128), d'où nous déduisons

Semblablement, l'expression (i 18) de X, donne

SiZf = -^ (2in-/-"^)(5 - 3/-":^)\ 2 .7

Prenant dans l'équation (i3o) les termes qui ne se réduisent ]3as à zéro, on en conclut

p= ''^~^ ^^SiZf = ^2^32(5-T-3^/^;^

Enfin, pour déterminer le dernier coefficient, nous avons, pour