CHAPITRE II
On aura
eS
Voici donc rëqiiation
^" js^ [(3 ^- /rr^) s ^ 4 (3 + /:r^)] + î^-^ JV=7= o.
On a
S(eS^-/02
Par conséc[uent,
Si l'on pose S
-^s[s2^3(7-./--^-)S-^^(9-5/-7)]s/-Sv/=1.
— U- \/ — 'y, il vient
J ^ 25.33 (3 - v/=^) V- 7 (U2- — I^^Il^") U^
l5o TROISIÈME PARTIE. — FRAGMENTS.
OU enfin, en prenant le signe — par exemple,
J=rO.
La décomposition relative au cas J = o devra se conserver dans l'équation en U^ où déjà on a le facteur U^ dans la partie indépendante de J. Effectivement, si l'on pose U = -f- i , J = o, l'équation est satisfaite. On a donc le facteur U — i.
La seconde racine triple S = — — - donne, d'autre part,
Substituant ces valeurs dans l'équation, pour J :== o, on voit que c'est le signe — qu'on doit prendre. L'équation en U peut donc s'écrire ainsi :
Telle est la résolvante de Gallois la plus simple; elle est obtenue en posant
Sur la multiplication complexe dans les fonctions elliptiques et, en particulier, sur la multiplication par ^'—23 (^).
Préambule.
Une des belles découvertes d'Abel, tout juste indiquée dans ses OEuvres, la multiplication complexe des fonctions ellipticjues, a été, avec éclat, tirée de l'oubli par M. Kroneckeret par M. Hermite. Dès le premier travail publié sur ce sujet par M. Kronecker [MonatsbericJite, 1807), on voit apparaître, entre cette théorie et celle des /ormes arithmétiques, des liens si étroits que l'admirable création de Gauss semble imaginée tout exprès. Cette liaison ne se montre pas moins dans le Mémoire composé par M. Hermite à la même époque (Comptes rendus de iSSp). La multiplication complexe n'y est pas le but : c'est le moyen que M. Hermite emploie pour trouver, dans les transformations du septième et du onzième ordre, la réduite de Gallois. C'est dans ce Mémoire cependant, si riche en résultats nouveaux^, qu'on voit, après les exemples élémentaires, la première collection de fonctions à multiplication complexe, calculées numériquement avec une élégance extrême. A la même époque, le R. P. Jouhcrl [Comptes rendus de 1860) et M. Kronecker (Moncttsberichte de 1862), dont les travaux, sur ce sujet, n'ont cessé de se poursuivre, ont donné aussi beaucoup d'autres exemples. Enfin, dans ces deux dernières années, la multiplication complexe a été l'objet de Mémoires im-
(1) Extrait du Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4* série, t. V; 1889.
l52 TROISIÈME PARTIE.
portants, dus à M. Stuart [Quai^terly Journal, t. XX), M. Sylow (ce Journal, 1887), M. Weber {Acta mathematica)^ M. Pyck {Math.Aiinalen) et enfin M. Greenhill (Proc. ofLondon. Math. Soc, 1888). Je n'ai point àanaijsericicesMémoires pleins d'intérêt au point de vue, soit de la théorie générale, soit des résultats numériques. Sous ce dernier point de vue, le Mémoire de M. Greenhill, tout récent, résume et dépasse les travaux antérieurs.
Pour la recherche effective des fonctions à multiplication complexe, sauf en quelques cas, comme la multiplication par y — n ou par y — i5 (Hermite, Equations modulaires, p. 55), on a employé, jusqu'à présent, des moyens détournés, quoique d'un grand intérêt : tantôt on utilise les équations modulaires déjà connues, tantôt on calcule, à l'aide des séries de Jacobi, les coefficients d'une équation résolvante. Ce dernier moyen, extrêmement curieux cependant, est bien étranger à l'Algèbre et surtout exige des opérations bien laborieuses. Le premier moyen conduit, en général, à des équations qu'il faut décomposer en plusieurs autres (*) ou bien qui ne donnent pas aisément, sous leur forme définitive, toutes les inconnues.
D'ailleurs, quoi que l'on veuille penser de ces critiques, il était intéressant de chercher des moyens directs. Je me propose, dans le Mémoire actuel, de montrer, sur un exemple, l'emploi d'un tel moyen, si direct et si simple, en théorie du moins, qu'il suffira, pour me suivre jusqu'au bout, de posséder les premiers éléments des fonctions elliptiques. Afin de faciliter cette tâche, j'ai placé au début un exposé rapide des principes généraux de la multiplication complexe, ressemblant beaucoup à celui qu'a déjà fait M. Sylow.
L'exemple choisi est celui de la multiplication par y/ — ';>3. Il existe six fonctions admettant cette multipbcation. Pour le
(') La cause de cette décomposition sera expliquée ici parmi les Principes généraux. Il y a plusieurs exemples, dignes de remarque, où cette décomposition est évitée par l'emploi d'équations modulaires irrationnelles; on le verra dans le Mémoire de M. Greenhill. Mais c'est là un accident heureux, qui se produit seulement en des cas dont le nombre est très limité. Pour obtenir une équation, sans facteurs étrangers, M. Kronecker a indiqué une méthode générale, fondée sur l'emploi simultané de l'équation modulaire et de l'équation au multiplicateur.
FRAGMENTS DIVERS. IDÔ
nombre p.3, comme pour tous ceux qui sont de la forme S n — i, ce qu'on a obtenu jusqu'à présent ne suffît point. Dans son beau travail de 1860, leR. P. Joubert, parmi beaucoup d'autres résultats, a donné explicitement deux équations, du troisième degré, dont chaque racine est égale, pour l'une des six fonctions, au produit du module par son complémentaire. Il resterait à trouver effectivement les modules, qui doivent contenir seulement une seule irrationnelle, outre y/ — 26. Cette circonstance indique suffisamment que l'on n'a pas choisi l'inconnue la mieux appropriée. La même observation s'applique à l'équation, d'ailleurs très élégante, donnée pour le même objet par M. Greenhill. On pourrait d'abord être surpris de me voir exiger le module lui-même, quand on sait fort bien que le produit du module et de son complément définit explicitement les invariants. Il est vrai que le résultat obtenu par le R. P. Joubert suffit à définir ces invariants ; mais il ne suffit point pour faire connaître, sans nouvelle irrationnelle, la formule même de multiplication.
Au point de vue des résultats, c'est donc un complément que j'apporte à ce qui était acquis. Mais c'est surtout par la méthode employée que ce travail, sans prétention, mérite peut-être un instant d'attention.
Principes généraux.
Rappelons tout d'abord les principes.
Soit s une constante qu'on désignera sous le nom de multiplicateur.
Soit u un argument variable; soit encore (' le produit de u par
le multiplicateur,
On sait que, si £ est un nombre entier, -pv est une fonction rationnelle de jjw. Le même fait peut-il se présenter pour d'autres valeurs de £?
Soient 2(1) et 2w' les périodes. Comme -pu ne change point quand on ajoute ces périodes à l'argument ?/ et que tout autre changement de l'argument, sauf le changement du signe, altère la fonction p; comme aussi pv doit avoir une seule valeur pour
chaque valeur de pu, il faut que les produits de s par 20) et i(ji' soient eux-mêmes des périodes, qu'on ait donc
(1) SO) = pO) -I- ^O)', £0j' = rco -t- 5 0)',
/j>,^, y, s étant des nombres entiers. De là se conclut
(2) (/'w -H ^w')a)' = (rw — 5w')w.
Mettons de côté le cas où l'on supposerait
qui est celui de la multiplication ordinaire, s étant alors un nombre entier. Pour tout autre cas, la relation (2) n'est pas identique. Elle exprime une condition entre les périodes : pour qu il existe une multiplication, autre que la multiplication ordinaire, il faut et il suffit que le rapport des périodes soit racine d'une équation du second degré à coefficients entiers. C'est une condition nécessaire, on vient de le voir; suffisante aussi ; pour s'en convaincre, il suffît d'observer que, s étant choisi conformément aux égalités (i), concordantes d'après la relation (2) supposée, p\^ n'a effectivement qu'une seule valeur quand pu est donné.
Il s'agit de trouver l'expression de j3P, en fonction de pu. Cherchons donc les pôles de cette fonction, considérée comme dépendant de u.
Des égalités (i) et (2), on peut tirer
/ w ^ siii — ^ Cl)' to' poi' — rw
(3) • ^ £ Ne N
' N =/?5 — qr.
En conséquence, les valeurs de ?^ == - ? qui rendent ç égal à une
période, sont des iN^*^'"^*^^ parties de période. Mais il faut préciser davantage.
On doit admettre que les quatre nombres /?, ^, /•, s n'aient aucun diviseur commun. Elfectivement, de ce cas particulier, on s'élève au cas général en multipliant £ par un nombre entier, c'est-à-dire en faisant suivre la multiplication par £ d'une multiplication ordinaire. Cette dernière ferait disparaître la simplicité ([u'on va reconnaître dans la nature des pôles de pt^; la simplicité
FRAGMENTS DIVERS. l55
tient essentiellement à cette hypothèse, permise et nécessaire : /?, q^ r, s nont aucun diviseur commun.
Soient V le plus grand commun diviseur de 5 et de ^ ; \l celui de p et de r. Ces diviseurs appartiennent aussi à N. On aura
g='^q\, 5 = v5i; p = ixpi, r = ixri; piSi — q^j-^= n. N = 7i[JLv.
Sont premiers entre eux les nombres q^ et 5,, de même /?, et /'i, et aussi \k et v, suivant l'hjpothèse qu'on vient de faire sur l'ensemble des quatre nombres/?, ^, /', s.
Gomme q^ et s^ sont premiers entre eux, on peut trouver deux entiers a et p par la condition
(4) 5iP — ^ia = i.
Posant alors
on en conclura
pitxi'— riiù = (/)ia — riP)wi — (piSi~qiri)M\, égalité que nous écrirons sous la forme
piOi' — j\(jii = hoji — nui\, en posant
(5) A=/?ia— r,^.
Remarquons immédiatement que h et n sont premiers «entre eux. On a, en effet,
hsi = p^sioc — ^l5l {^ = p i s i oc — ri ( 1 -{- q i (x) — na — 7\, hqi^piqiOc — 7-iqi'^ =/>i(5i? — 0 — r^q^^ = n^ — p^.
Tout diviseur commun k h et n diviserait donc ;"< et/?i, qui sont premiers entre eux.
Puisque h et n sont effectivement premiers entre eux, on peut choisir un eutier X, de telle sorte que h + \n soit premier avec un nombre donné quelconque, par exemple v. Mais, par l'égalité (4). a et p sont déterminés seulement à un multiple près res-
l56 TROISIÈME PARTIE.
pectivement de s^ et de q,. L'égalité (5) détermine donc h à un multiple près de
on peut alors choisir ce multiple de telle sorte que h soit premier avec V. Admettons qu'il en soit ainsi.
Les deux nombres h et ji. étant premiers avec v, on peut déterminer des entiers y et o par la condition
vo — /ijJ-Y = !• Gela fait, on a
h lui — 71 0) j -f- ji V Sw'i = h ( Wi -f- n jj-Ycoi )
et, si l'on pose
les expressions (3) de - et de - prennent les formes ci-après :
10 SiM — Ci m' Wi W
- nix II \x 11 ijL
Par conséquent, en négligeant les multiples de la période 2 to'^ ,
Ibi
'2 Vto
nii
ihM
2 [JL /i W
TiV
Ainsi -^ et — , a des périodes près, sont des multiples d une
seule et même quantité -^ • Avec des entiers quelconques a'et P',
en posant
va' -h IX h'^' — m, on aura, de même,
c est-à-dire un multiple de -^-- Gomme, d'ailleurs, v et \kh sont
FRAGMENTS DIVERS. iSy
premiers entre eux, m peut être un entier quelconque. En conséquence, les valeurs de u qui rendent v égal à une période sont représentées par tous les multiples d^ une seule et même quantité-^-, qui est la W''''''' partie d' une période.
11 est très important de se rappeler l'hjpothèse />, q, /', s sans diviseur commun. Dans le cas opposé, en effet, la proposition serait en défaut. Au cas de la multiplication ordinaire, par un
entier M, les valeurs de w, qui rendent ^ égala une période, sont
constituées par l'ensemble de toutes les M^''"'*'^ parties de période, et ces dernières ne sont pas les multiples d'une seule et même quantité. Si donc on multiplie £ par un entier M, la proposition précédente disparaît à l'égard du produit Ms. Elle constitue ainsi une propriété caractéristique de la multiplication singulière, réduite à ses éléments essentiels.
Connaissant les pôles de jdp, fonction de u^ il est aisé de trouver l'expression de pv^ décomposée en éléments simples. Soit effectivement
d'après l'égalité (7), il vient
D'autre part, pc développé suivant les puissances ascendantes de ç fournit, à la partie fractionnaire, le seul terme —__- Suivant les puissances ascendantes de u' , on a donc le seul terme -1— r, • De là vient, dans la formule de décomposition, le seul terme
Si l'on observe ensuite que pv est une fonction paire de ?^, on trouve immédiatement le terme constant, qui restait à déterminer dans la formule de décomposition, et l'on a enfin
(8) €^pv=^pu-^ 2^ Yp[u ^j p-__J.
in—\
Le rapport des périodes est supposé racine d'une équation du second degré, à coefficients entiers; soit
(9) aa>'2-}- 26 tOw'-h CtO^rrr O
cette équation, où a, 6, c sont des nombres entiers, n'ayant aucun diviseur commun. Le premier membre constitue ce qu'on nomme, dans la théorie de Gauss, une forme primitive; la qualification àe primitive exprime que a, b^ c n'ont point de diviseur commun.
Dans ror<://*e primitif (c'esl-à-dire dans l'ensemble des formes primitives), on distingue V ordre proprement primitif elV ordre improprement primitif. Le premier est celui où a et c ne sont pas, tous deux, pairs; le second est, au contraire, celui où a et c sont pairs. Cette distinction, née de l'Arithmétique, est encore fondamentale ici, comme on va le voir immédiatement.
Le rapport des périodes est essentiellement imaginaire. Ainsi l'équation (9) a ses racines imaginaires; en d'autres termes, le nombre U, qui est son déterminant changé de signe,
est essentiellement positif. La forme («, ^, c), c'est ainsi qu'on représente abréviativement le premier membre (9), est donc une forme définie, nom que l'on donne aux formes dont le signe est invariable quand la variable est réelle. On pourra admettre que a et c, dont le signe est le même pour tous deux, sont positifs. La forme (<2, b^c) est, en résumé, une forme primitive ei positive. Enfin, pour fixer les idées, nous définirons le rapport co' : to comme étant égal à la racine dans laquelle la partie imaginaire est positive, c'est-à-dire que le coefficient de i est supposé positif. Par conséquent,
et y/D est pris positivement.
L'équation (9) peut être mise, de diverses manières, sous la forme (2). Il y a donc diverses multiplications singulières pour la même fonction elliptique : parmi ces multiplications, il faut en choisir une, la plus simple, suffisante pour caractériser la singularité.
FRAGMENTS DIVERS. I DQ
Par comparaison avec l'égalité (2), on posera
q — ka, — r = kc, p — kb -\- k',
^^'^^ i s = -kb-^k', p~s = ikb.
Les trois nombres a, b^ c n'ont point de diviseur commun ; il en va donc de même des trois nombres a^ ib^ c dans le cas de l'ordre primitif. Alors k est nécessairement un nombre entier, et k' aussi par conséquent. Au contraire, pour l'ordre improprement primitif, a^ ib el c ont le diviseur 2. On peut donc prendre, pour A', la moitié d'un nombre entier ; comme, d'ailleurs, b est impair (sans quoi a, ^, c auraient le facteur 2), 2k' sera aussi un nombre entier, de même parité que 2/:.
Nous avons maintenant, suivant (12) et (10),
(i3) N ^ps — qr = k"--^k^-D.
Le minimum de N, pour l'ordre proprement primitif, est donc N == D, répondant à k' = o, k = ± i. Pour l'ordre improprement primitif, c'est N = {(D + 1), répondant à ±: k'=^dz k = i.
L'expression (i) du multiplicateur s, suivant (11), devient
(i4) t=-^ — ■ = k' = k'-^ ikv/D.
Ce multiplicateur est toujours imaginaire, et c'est là l'origine de la locution : multiplication complexe.
Adoptons naturellement, comme la plus simple, la multiplication où N est minimum ; fixons, d'ailleurs arbitrairement, les signes de k et de /:', et concluons ainsi :
Dans l'ord/^e proprement p/^imitif (c'esl-k-d'ire l'un des deux nombres a el c étant impair), le multiplicateur le plus simple t et le degré N sont
(i5) E=iVD, N=D;
dans r ordre improprement primitif (c^est-k-d\rc si a et c sont pairs, tous deux), le multiplicateur le plus simple t et le degré N sont
(iG) s = |-(i-+- t s/d), N = |(D4-i).
l6o TROISIÈME PARTIE.
Pour un même déterminant D, multiple de 4 moins i , le degré le plus petit correspond à l'ordre improprement primitif, qui ofîVe, par conséquent, des calculs directs beaucoup plus simples. Comme on le verra par l'exemple que nous allons calculer, on peut ensuite, par des opérations indirectes, passer à l'ordre proprement primitif.
Diverses méthodes de recherche.
Jusqu'à présent, les fonctions elliptiques à multiplication complexe, oi\ fonctions singulières, ont été caractérisées par la condition (9), relative aux périodes. Le problème véritable est de trouver leurs modules, suivant l'ancien langage, ou leurs invariants, suivant le langage actuel. Pour résoudre ce problème, la voie naturelle est de faire disparaître les variables «, ç de l'égalité (8), de façon à obtenir une relation entre des constantes, exprimables en fonction des invariants. On peut obtenir une infinité de telles relations.
Développons les deux membres (8) suivant les puissances ascendantes de u, égalons terme à terme les coefficients et nous aurons les relations dont il s'agit. Pour ce but, on invoquera le développement
^u = —^ ^ — ir--^ ~ U*-^
ll~ 20 '28
Se souvenant que l'on a ç =.tu^ on conclut
)i(^'-)--îi:^'^
(^7) ^ ï / r N 1 V TV ^'"^^~^
11 suffit, bien entendu, de prendre la première de ces équations. En exprimant que les arguments des diverses fonctions p" , dans le second membre, sont les multiples d'un même argument, que ce dernier est la N'""""^ partie d'une période, on obtiendra, entre les invariants, une équation algébrique propre à résoudre le problème.
On peut procéder autrement : prendre les deux équations, ex-
FRAGMENTS DIVERS. i6j
primer les fonctions p" et p^^ au moyen de la seule fonction p, suivant les formules
employer la multiplication ordinaire pour réduire ces fonctions p au seuJ argument -^ et, sans avoir a exprimer que cet argument est une N'"""^ partie de période, éliminer cette unique quantité p-^ entre les deux équations.
11 y a d'autres moyens encore. Dans le cas, notamment, où N est un nombre pair, en mettant, au lieu de u, dans l'égalité (8), une des trois demi-périodes, on obtient une relation fort utile, comme je ferai dans l'exemple que je me propose de traiter ici.
Voici le fait qui attire d'abord l'attention. Dans l'égalité (8) et celles qui s'en déduisent, les seules données qui apparaissent sont £ et N, c'est-à-dire, conformément aux expressions (i5) ou (16), le déterminant D et la distinction entre les deux ordres, proprement ou improprement primitifs. Aucun autre élément de l'équation (9), c'est-à-dire de la forme {a, 6, c) ne laisse de trace dans le calcul. Par conséquent, la totalité des formes, de déterminant D, donne en tout deux équations, bien distinctes entre elles, l'une pour l'ordre proprement primitif, l'autre pour l'ordre improprement primitif (quand D est multiple de 4 moins i).
Pour un déterminant donné, il y a une infinité de formes (rt, h, c). Il n'y a cependant qu'un nombre limité de fonctions singulières, répondant à ces formes, puisque ces fonctions sont définies par une équation algébrique. Une infinité de formes répondent donc à une même fonction. Ceci tient simplement à ce que les périodes 20), 2co'ne sont pas entièrement déterminées. On peut, en effet, au moyen d'une substitution linéaire, de déterminant unité, changer ces périodes en d'autres, qui leur soient équivalentes.
Soient 2cô' et 2w deux autres périodes :
(18) 0)'= aw'-i- ^(0, tJ5 = Y^'"'" ^^•
Pour que le couple (sto', 2tô) puisse remplacer le couple III. II
l62 TR0ISIÈ>1K PAIITIE.
(aw', 2(o), il faut que toute période s'exprime par une fonction linéaire de 'ii7y' et 9. w, à coefficients entiers; ceci exiee
De plus, pour préciser le rapport to': w, nous avons été conduits à fixer le slj^ne de la partie imaginaire dans ce rapport. Pour rpie ce signe se conserve dans w' : w, il faut que l'on ait ao — (^yrrri 1-1 , comme on le reconnaît par un calcul classique.
La substitution (18) fait apparaître o/ : c5 comme racine d'une nouvelle équation, analogue à l'équation (9). Le premier membre de cette nouvelle équation n'est autre que le premier membre de la précédente (9), transformé par une substitution linéaire, à coefficients entiers, de déterminant égal à H- i.
Dans la théorie de Gauss, toutes les formes (a, 6, c), déduites d'une seule et même forme par de telles substitutions, forment une classe et elles sont dites équivalentes. Cette équivalence trouve ici son application naturelle : toutes ces formes correspondent à une seule et même fonction elliptique. Le nombre total des fonctions singulières qui correspondent à un même déterminant D est donc aussi celui des classes de formes primitives (proprement ou improprement), à déterminant — D. Si la théorie des nombres ne nous le faisait déjà connaître, nous apprendrions donc par les fonctions elliptiques que ces classes sont en nombre limité.
En restant dans les généralités, j'ai encore un mot à dire sur la méthode de calcul que j'ai indiquée tout à l'heure, pour la comparer avec la méthode classique, la métbode d'invention première, celle d'Abel, pour laquelle on emploie les équations modulaires.
Envisageons des fonctions elliptiques quelconques, ayant 20J et 2(d' pour périodes; puis d'autres fonctions elliptiques, ayant les périodes 2O, 2O', liées aux précédentes par les relations
(19) zQ -~= pto -^ q b)', bQ' — rM -~ sui',
analogues aux relations (i); p, q, /', s sont encore des nombres entiers sans diviseur commun, mais £ est une quantité tout à fait arbitraire. Les éléments de la théorie de la transformation, par les raisonnements mêmes que nous avons employés, montrent que
p(£w) est fonction rationnelle de P;^ (nous désignons ici par P la seconde fonction elliptique, aux périodes 2Q, lÙ'). Cette fonction rationnelle s'exprime, en éléments simples, sous la forme
■P{zu)r-.PU
analogue à l'égalité (8).
Par le même moyen qui nous a fourni les relations (17), en employant des majuscules pour les invariants de P, on obtient
En considérant les seconds membres comme des fonctions connues de G2 et G3, éliminant s, on obtient une relation entre les invariants absolus g-^ ', g'I et GiJ : G3 (qui remplacent les modules dans les notations modernes). Cette relation (mise sous forme entière relativement à Go et G3, dont les seconds nombres sont des fonctions algébriques irrationnelles) constitue Véquation modulaire relative aux transformations d'ordre N.
Dans cette équation modulaire, supposons G-2=^ g-i^ ^3=: 0-3. Nous retrouA^ons alors, au lieu des relations (19), les relations initiales (i), et l'équation ainsi obtenue, qui contient alors un seul module, ou plutôt un seul invariant absolu, caractérise des fonctions elliptiques singulières. Mais £ a disparu^ la seule donnée qui subsiste est N. La disparition de £ nous avertit que les multiplications ne sont pas nécessairement réduites à leurs formes les plus simples (i5) ou (16). Entre le déterminant D inconnu et le nombre donné N existe seulement la relation (i3). On trouvera donc ainsi, à la fois, toutes les multiplications complexes qui répondent aux déterminants D, de la forme
9.A et 'j,k' étant des entiers quelconques, qui rendent D entier et positif. L'équation obtenue de la sorte est donc décomposable en plusieurs équations distinctes.
l64 TROISIÈME partie;
Au poÎDtde vue théorique, celle méthode présente divers avantages. Tout d'abord, elle a été la source de belles découvertes arithmétiques, comme on peut le voir dans les travaux de M. Kroneck©r. De plus, les équations modulaires ayant été très étudiées, on trouve par là plusieurs propriétés générales de la multiplication complexe. Mais, quand il s'agit de calculer effectivement des invariants singuliers, correspondant à un déterminant donné, cette méthode ne peut être approuvée. Une bonne méthode doit fournir directement, sans facteurs étrangers, l'équation désirée. Elle ne doit point exiger le calcul préalable des équations modulaires. Celle que j'ai indiquée plus haut satisfait à ces conditions : par la conservation du multiplicateur s dans le calcul, elle doit donner, pour chaque cas, une équation répondant uniquement à la question (^). On ne peut pas dissimuler cependant que le calcul eiTectif offre des difficultés : pour qu'il ne soit pas trop laborieux, on doit assurément user d'artifice, employer, par exemple, des relations surabondantes, comme je vais le faire dans le cas particulier dont j'aborde maintenant le calcul.
Multiplication par |(i4- v^— '^3). — Recherche de la résolvante.
Je me propose de trouver les fonctions elliptiques singulières répondant à l'ordre improprement primitif, pour le déterminant 23. Je prends, à cet effet, l'une des formes correspondantes, la forme (2, i, 12), supposant ainsi, entre les périodes, la relation
ly 23.
Dans la fonction elliptique correspondante, les invariants sont
(') D'après un des plus beaux théorèmes de M. Kronecker, cette équation doit se décomposer en autant d'équations partielles qu'il y a de genres difTérents, entre lesquels se répartissent les classes de formes ayant le déterminant donné et appartenant à l'ordre considéré. Le déterminant que j'ai en vue est un nombre premier; il n'y a donc qu'un genre dans chaque ordre; partant, point de décomposition.
FRAGMENTS DIVERS. l65
réels et le discriminant négatif. La demi-période réelle est tu, la demi-période purement imaginaire est 2to'-f- to. Ainsi, suivant les notations usitées dans le cas des invariants réels avec discriminant négatif, on devra poser
de là, pour les demi-périodes imaginaires conjuguées, les expressions
Les racines e^^ c'est-à-dire les valeurs de pu quand 11 est une demi-période, sont donc composées ainsi : l'une réelle e.^^ correspondant à too aussi bien qu'à co'^; les deux autres sont imaginaires conjuguées : dans e^^ qui correspond à to,, la partie imaginaire est positive.
Je conserverai explicitement les demi-périodes w, w', avec la notation iJ' pour leur somme, mettant, de plus, e, e\ e" pour les trois racines correspondantes (*). La somme de ces dernières est nulle. On a donc simultanément
La lettre t désigne l'inconnue qu'on est naturellement conduit à choisir. Nous savons dès maintenant que -. doit être réel et positif.
D'après les égalités (12) appliquées au cas actuel, en j prenant
des relations (i) et (2) on tire les suivantes :
SCO = o) -h o)', ziii' = — 6a),
W w' (Xi' to'
£ = -1(1 -i- i\/-ïi).
(') L'obligation de considérer, à la fois, les diverses fonctions elliptiques contraint à restreindre la variété habituelle des notations : je réserve l'emploi des indices pour caractériser les autres fonctions, qui interviendront plus loin.
j66 troisième partie.
La demi-période (o coïncide avec w' et la formule (8) devient
pu-^p(^u~ ^ ) + p(^^-+- jj
(9,3) £2pp=: y |p( ^^ ^ j + p(t^+ ^ 1 -+-p(i^ to')
Posons, pour abréger (*),
remplaçons p'^ par6j3- — lg.2 et déduisons de la première formule générale (17) cette équation
Je prends, de plus, l'équation qu'on obtient en supposant, dans la relation (28), 11= co, ce qui donne, suivant (22),
par conséquent,
£2 e" — e -+- e" — e' -h 2p ( w 1 H- 2p I to ;.- I — 2a — 2 h.
Nous poserons
A = i(£2e"^e' e — e")r= |(£2e"H- ie'),
en sorte que la dernière équation s'écrit ainsi
/ to'\ ( 2to"
(2C) 2A -^a^5 = p( w— — 1 -i-p( oj —
Par le tbéorème d'addition des demi-périodes, on a, suivant les
notations (24),
fe— e') (e — e")(«. -t-6 — %e)
{11) p(a.-î^)H-p(co-2|i)
(') L'emploi des lettres a et 6 ne peut entraîner aucune confusion avec la notation générale {a, b, c) des formes quadratiques, sur laquelle nous n'aurons plus à revenir.
Le second membre (26) étant maintenant exprimé au mo>en de a et h, il ne faut plus qu'une relation entre a el b pour éliminer ces quantités des équations (26) et (26). Cette relation est immédiatement fournie par les expressions (2.4) de a el b
On en conclut, par le théorème d'addition des demi-périodes,
ce qui est la relation demandée. Je m'en sers immédiatement pour modifier le second membre (2^) par le calcul suivant : «
Ajoutant, membre à membre, avec (28), on conclut { a — e){b — e) = {e' — e) {a ~- b — e — e" )=^( e' — e)(a-h è -t- e'). La relation (27) devient donc
/ (.0' \ / 9. w' \ le" — e) {a -\- b — •y.e)
»\" - 1 ) -- 'Y" ~ ^ j = "" + â^TT^' '
ce qui donne, pour l'équation (26), celle-ci
(29) (2 A — ie -- a -\- b) {a -^ b -h e' ) -^{e — e" ) {a -\- b — 2é') = o.
L'élimination de a et b entre ces trois équations (^j), ( '28) et (29) est évidemment très facile. On peut cependant la simplifier encore par une nouvelle transformation du second membre (26'), conformément au calcul suivant :
2w'\ „ ie"—e){e"—e')
plw-
2oo'\ (e — e')(e — e")
I , 2to'\ , {e' — e){e' — e")
Soit/(rt) ^={a — e) {a — e') {a — e"). La somme des trois fractions, dans ces seconds membres, est^-r^ — ^ 9(<"0? ^^"^ '^(^) <^^^~
l68 TROISIÈME PARUE.
signe \di partie entière de -jr^' Soit, pour un instant, u l'argument ^ to ; on a
Pour un argument u quelconque, on a toujours
Pour u = 1 w', pu et piii sont des quantités égales, a. Ainsi
f'Ha)
~. — -— = l'ia.
Quant à cp(a), partie entière de ' . où a est supposé quelconque, c'est ga. La somme des trois fractions est donc égale à 3a. Au lieu de l'égalité (2^), on peut donc encore écrire celle-ci
(29a) p/ co— — j -t-p(^w -^ \-i-b = 3a,
moyennant laquelle l'équation (26) fournit cette autre (3o) A = a ~ b,
que j'adjoins au système (20), (27) et (29).
Avec la notation A, j'emploie encore B et C : ainsi
I A= "-('^e'-ie'),
I C^{e' — e)(e'— e")= 3e'^— 7^2 = 2e'2-f- ee" . ' 4
Les équations (25) et (27) sont les suivantes :
rt2^62r-^B, {a — e'){b — e')r^C.
Avec l'équation (3o), on en tire
■le'ia -\- b)= 2e'2;B — 2G— A2^ B — A2-- ae'^— 2ee'
L'élimination de (a -{- b) entre ces deux dernières conduirait à une équation du quatrième degré par rapport à l'inconnue i. Cette équation contiendrait un facteur étranger, tandis qu'en sul)stituant (a -h h) et son carré dans' (0.9), on obtient une équation du troisième degré
(3'2) A(B — A2— 2ee")^e'(3B ~ik^-^ iee"--ie'^) -= o.
C'est l'équation que je voulais obtenir. On j devra substituer, pour A et B, leurs expressions (3i). en se souvenant qu'on a
Elle devient, de la sorte, homogène et du troisième degré, en e, e'y é' . Parle mojen des notations (21), on aura une équation du troisième degré en t.
Le développement de cette équation exige encore des calculs assez longs. Il convient donc d'avoir un guide et un contrôle par la connaissance préventive de quelques traits essentiels.
Remarques sur la résolvante.
La présence de s dans A et B entraîne, pour les coefficients de l'équation, la forme complexe a -j- f ^y/23, a et (3 étant des nombres entiers. Or nous connaissons l'existence d'une racine t^ purement imaginaire. Il est donc naturel de prévoir, pour l'équation, la forme
(33) jV23(a^3j p^)^^^2^5 = 0,
OÙ a, [^, y, 0 seront des nombres entiers. Je donnerai, dans un instant, la preuve véritable de cette propriété. Ce qui importe le plus, c'est de savoir à quelles fonctions elliptiques singulières se rapportent les autres racines t.
D'après les éléments de la théorie des formes, il y a, outre (2, I, 12), deux autres formes réduites, dans l'ordre improprement primitif, de déterminant — 28. Ce sont les formes (4, i, 6)et (4, — 156). Envisageons d'abord la première, que nous distinguerons en affectant de l'indice 1 les éléments correspondants. Il
s'agit donc des fondions elliptiques pour lesquelles on a I = ti/'j-S,
(34) ' £Wi=Win 2w'i, £Wi = --3a)j,
L'argument w de la formule (8) est ici to'^ 4- 3 co, .
On formera, comme précédemment^, l'équation supplémentaire, en prenant w = w,, ce qui donne aussi r = o),. Les lettres r« et h auront les significations suivantes :
«1 = Pi —3- ? ^i =- ,Pi f y -^ wi
Moyennant ces conventions, on voit immédiatement qu'on obtient les mêmes équations que précédemment, sauf remplacement de e, e\ e" par e\^ è\^ e^.
Notre équation du troisième degré a donc une racine /, définie par les égalités
/ofx e\ I ex ï
«1 2 gj 2
Cette racine est complexe et nous verrons même, ultérieurement, que Ton peut assigner, d'avance, son expression en fonction de la racine précédente t.
Semblablement, la forme (4, — ( , 6) donne lieu à des fonctions elliptiques caractérisées par les relations
(02 (3S) {^ COJ2 -- 20)2, ctOg = ~- 3(02 -T- (1)2,
W2 ^2 20)2 tOg I
L'argument w est (Oo — 2to!,. On obtient l'équation complémentaire en prenant u =^ w.,, ce qui donne r :=z to.',. Les lettres a el b ont les significations suivantes
/ 1 tO.2 4 ^'9 \ j / H>2 — ^' W', \
et l'on retrouve les équations primitives, sauf remplacement de e, e\ é' par <?',, e.^^ e.,. Notre équation, du troisième degré, a donc la racine ^o, définie par les égalités
En comparant les fonctions d'indice 2 et celles d'indice i, on voit que les rapports des périodes, au signe près, ce qui est indifférent, Y sont imaginaires conjugués. Les invariants absolus sont donc aussi des imaginaires conjuguées et il est manifeste que les deux rapports e, \é^ et <?2 I <?2 ^^"^^ dans ce cas. Ainsi t^ et — t-i sont des imaginaires conjuguées. Nous rappelant ce qui a été dit précédemment sur la première racine t^ nous pouvons conclure
que les trois quantités -> fournies par les trois racines t^ sont l'une
réelle et positive, les deux autres imaginaires conjuguées. Par là est pleinement justifiée la forme (33), prévue pour l'équation.
Voici encore un autre mojen de trouver ce même résultat, Comme on l'a vu par l'égalité (i4). ^^i^g même fonction elliptique admet à la fois les deux multiplicateurs s et i — s et, pour tous deux, le nombre N n'a qu'une seule valeur. On peut donc former l'équation tout aussi bien en se servant du second multiplicateur et l'on reconnaîtra qu'il y a simplement échange entre e^ete''. Par le changement de £ en i — t, c'est-à-dire par le changement du signe de «\/23, la racine t se change en — i\ il en est de même pour les autres racines. Cette circonstance exige la forme (33) de l'équation cherchée.
Pour une même fonction singulière, les deux multiplicateurs conjugués, £ et — £ dans le cas de l'ordre proprement primitif, £ et ^ — (I — £) dans l'autre cas, coexistent toujours. Ce fait général, conséquence de l'égalité (i4), explique, de nouveau, pourquoi deux yb/-/?Z(?5 opposées, comme (4, i, 6) et (4, — ^ i? 6), donnent lieu à des invariants conjugués, avec cette conséquence, bien connue, que les invariants réels proviennent des formes ambiguës, comme (2, i, 12), c'est-à-dire des formes proprement équivalentes à leurs opposées.
Une dernière observation avant de calculer notre équation. Si l'on ne savait déjà, par la théorie des formes, que l'ordre impro-
prement primitif contient, en tout, trois classes pour le déterminant — 23, le degré 3 de l'équation nous le ferait connaître. Il est évident, en effet, que, s'il existait d'autres classes, le même calcul s'y appliquerait, entraînant seulement quelque permutation dans les accents de e, e\ e" . Ces classes fourniraient donc nécessairement des racines de la même équation.
Développement de la résolvante.
Dans le développement de l'équation (32), j'utiliserai la forme démontrée (33), non pour abréger le calcul, mais seulement pour le contrôler. Soit U le premier membre
U = A(B— A2— 2ee") -^ e'(3B — ik'^-^ lee" — ie'^),
où l'on prendra
Soit aussi V le premier membre, sous la forme désirée (33), V = i v/23 (a ^3 ^ ^ ^) |^ V ^2 : 3,
On doit s'attendre à ce que U diffère de V par un facteur complexe [Ji + iv y/23 , et chercher à mettre ce facteur en évidence.
Au lieu de développer complètement U, il est préférable de calculer séparément U pour des valeurs particulières de t.
En se servant de la relation
on a
23.3.5AB =:II£4-+-12£2 = 109 £2 îi2 32.11^ 9/' A3 ^—£6 = 5. i7£2 22.32.11,
22ee"A= £2 =-f- £2.
Désignant par Ui la valeur de U correspondante, on trouve ainsi
