TO

1 (3LMx =0)2 — OJ2,

ao)'j

I a'g oji = 2W,

1 TjWi = Q'i,

TiO);

= 2Qi;

1 aja)2 = 20),

= 0)'4- co,

aa = jj a^ = a-2<^2 ^^ 2-

Les trois nouvelles fonctions correspondent aux trois formes réduites (i, o, 23) et (3, =b I, )

Je considère la première de ces transformations. Elle est traduite par l'égalité

cr I p 1 ( T 2 M ) = p i« H- JH i^ — ^«^ ' ) — P ^ ' :

d'où l'on déduit, en prenant successivement, pour u^ les valeurs

(0, ^to', ^0)'-j- w,

a| ei = e -h e" — e' = — 2 e', ar|e\ = e'=t 2 v/(e'— e)(e'— e"), (T|e'i = e'+ 2 v/(e'— e)(e'— e"),

FRAGMENTS DIVERS. l8l

ce qui mène à la relation bien connue

\J{e'—eMe'—e) e'[ — e\

(DI) Zt 2 ; = •

e ex

La seconde transformation donne, de même,

Introduisant les racines /, t^, t^^ d'après (21), (35) et (37), on a ainsi

[ 4 ^t{it — 'i) ^ 3 — 2^1

i — it 1 + 2^1

4/^(2^ + 3) 3 + 2^, i-\- it I — 2 ^2

Les quatre autres transformations analogues conduisent à des formules que l'on déduit aussi de ces dernières par la permutation circulaire des indices.

J'ai annoncé un moyen, purement algébrique, de distinguer celle des deux racines cubiques de l'unité qu'il faut désigner, dans les formules ci-dessus, par 9. Le voici. Tout d'abord, substituant, à la place de x^ dans le premier membre (44)5 successivement les deux nombres 3 et j|, on trouve, pour résultats, —17 et

, 32. 52. 72. Tl , • ' 1, • . ^ • J 1

H j^ J^a racine réelle x est ainsi connue, a moins de ^^

près, et l'on voit que c est compris entre 1 45 y/23 et i47v/23. Prenons l'égalité (5i) qui donne

Cl — "M v/ — 6 f( c — 3 f )

Ci+9^" ~"^ c — ^i

Vu la grandeur de c, les quantités c — Zi et c — 9 i peuvent ici être remplacées, pour fixer les signes, par c lui-même; et l'on a sensiblement

(53) £lZll^:=^,j/^(,,-).

ci+9t ^ V c

Si l'on pose ^2= aH- « [^, on a (46)

l82 TROISIÈME PARTIEU

quantité positive, x étant inférieur à ^. Par conséquent, dans

Cl — 3t a+ f(? — 3) a2-f- p2. 27-h 6p — i2îa ci-f-9f' ~ a-T-H(^ + 9) ~ ~ ÔMTf +9? '

la partie imaginaire est négative, d'où l'on voit déjà qu'il faut prendre le signe plus devant le second membre ( 53). On doit donc avoir

Or, en remplaçant t par - - dans l'équation (4^), on trouve

CCiC2= 33.7. 19 y/23.

D'après la grandeur de c, il en résulte c^ c-i<^ 3^, c'est-à-dire

En conséquence, ^ est positif. C'est à quoi j'étais parvenu précédemment, pour en déduire la détermination précise de 9.

Ainsi qu'on l'a vu par les transformations du troisième ordre, ts et ^2 s'expriment rationnellement en fonction de t^ sauf adjonction de £. Les deux quantités 4 / — —— peuvent donc être exprimées de la même manière; c'est ce que je vais chercher à faire. Soient

/•il 3 , /'ity 3 , /lt^-

ces racines carrées étant prises avec les signes que leur attribuent la première égalité (02) et ses analogues. Recourant à l'équation (40)7 dont ^, ^,, t^ sont les racines, j'ai

D'ailleurs, par l'égalité (02),

et ses analogues, multipliées membre à membre, j'ai aussi

8 V(o)Y(-i)^ par conséquent,

Les équations (3g) nous offrent, calculées déjà sous la dénomî nation de Vi et V'^, les quantités V(±:^), savoir

V(±^) = 22.7.ii(3zî=iV^)- Il en résulte

SSiS-2 = — 2"

Une vérification s'offre naturellement par le calcul direct de V(J) qui, d'après (54), donne

(551^2)^= -2^(79-1- 3. 7^/23) = 2^(7 — 3/:*/^)-. De la même égalité (62) je tire encore le résultat suivant

(^^) ll'-^-li^-f^.

où y désigne la dérivée de V, et où le signe sommatoire s'applique aux trois racines. Par un calcul direct, on a

V'(-|) = 22.32(317-+- 52. 7fV'^),

quantité qui doit être divisée par V(f). Le calcul précédent a donné V(|) sous la forme

•^ (3 — iv/23)''*

La division s'effectue donc de la manière la plus simple, en

l8/4 TROISIÈME PARTIE.

multipliant successivement par 3 — i\ji'i ,

( 317+52.7^"/^) (3 -tv/^)= i^{ 3ii + i3tv^), ( 3ii-^ i3^v/23) (3 — iy/âÏÏ) = 24(7.11 — 17 ty/^ÏÏ), (7.1 1- i7tv/^)(3-fv/^)=-25( 5-+-22jv/^),'

D'après l'expression de 5, on a, d'autre part, I — 9. ^ 52 + /i

J'ai donc ce résultat, que j'avais en vue d'obtenir,

Soit maintenant

(56) 53-N52-+-M5 — 22(7-3iV23) = o

l'équation dont .9, s^^ So sont les racines. La précédente relation donne

Ce sont ces deux coefficients M et N dont la détermination fournira l'expression, que je cherche, de s en fonction rationnelle de t. On peut tirer encore de l'égalité (02) deux autres équations du premier degré entre M et IN par le moyen suivant. Elle donne immédiatement

D'ailleurs,

y -"^ - - sy -^ =-^y ( ' + —^)

FRAGMENTS LIVERS. I 85

En désignant parF(5)le premier membre (56), on a, delà sorte,

F^(9.0 F (—20 I i V'(— i) f{'il) ~^ F(-20 "" 2 "^ 3 V(— 1) '

Pour revenir de l'équation (56) à l'équation en ^, il faut chasser l'irrationnelle s. On a donc identiquement

(58) F{s)¥i-s)=^^Yit),

où \ est un facteur constant, s et t étant deux variables liées par la relation

En différentiant, je conclus

puis, en prenant 5= 2«,

F' (il) F'j— 2jf) i Yjj) __ . Fiii) F(-2i) ~" 3 V(iy

T • 11 • r F''(=fc2î) 1 1

La connaissance des deux quantités -j^-- r- procure les deux

A F(àzii) ^

équations du premier degré dont j'ai parlé. Me contentant d'avoir indiqué ce moyen, je vais en employer un autre, encore fondé sur

la relation (58). Substituant dans V(^) l'expression t = .^ ?

on a l'équation

S^ — 2.35* — 2^.1575-+ 2^.79 — 2.7i y/23 (7 s*— 'l'^.JS^ — 2^.3) = o,

dont le premier membre doit reproduire

- F{s) Fi— 5)= 52(52| M)2— [N5'--i- 2K7 — 3i /^)]^ De là deux équations

l86 TROISIÈME PARTIE.

Enti^e celte dernière et l'équation (5^) éliminant N, j'obtiens

M2-+-8M^ 23.31/23(7 — 31/23), équation du second degré donnant les deux racines

Une seule convient, que Ton distingue immédiatement comme (levant, par l'équation (09), fournir, pour N-, un carré parfait. On trouve ainsi

M = 2 ( 1 9 -f- i /23 ), N — : 1 7 H- 3 i /'23 , F{s)— s^—i-jS'-{- 2. 195 — 2-. 7 — i\/'2o (3^2— 25 — 22.3) :

tel est le premier membre de Féquation cherchée. Si, de même, on pose

ces quantités sont les racines de l'équation <^(s')= o, dont le premier membre est conjugué du précédent,

<t>(^s')~- s'-^ — i-js'^-i- i.ic)s' — 2^.7 -h 1/23 (3s'- — 2 s' — 22.3).

Par là sont exprimés, comme on le voulait, 5 et 5' en fonction de t. On a, en effet,

égalité où l'on mettra, au second membre, -^^ — à la place de s-.

2? -T- 3 Pour s', on prendra la relation analogue oi^i l'on mettra — -^ — à la

place de s'^.

C'est en vue d'effectuer complètement les trois dernières transformations du second ordre que j'ai calculé F et $. J'arrive à ces transformations.

Les trois fonctions de l'ordre proprement primitif.

Aux périodes iù, ^ù', définies par les relations (5o),

TCO = 2 12, TW'=Û'— 12,

FRAG3IENTS DIVERS* I07

correspond une nouvelle fonction Pw, dont je dénote les éléments par des lettres majuscules. La transformation conduit, par le même calcul que plus haut, à la relation suivante, analogue de l'égalité (01),

Le premier membre est, en valeur absolue, égal à

quantité réelle, puisque t est purement imaginaire. D'après la nature de la fonction P, dont les invariants doivent être réels et le discriminant positif, les trois quantités E, Yl' ^ Yl doivent être réelles, rangées ainsi en ordre décroissant; de plus, le rapport 0': i£i étant supérieur à l'unité, E'' est négatif, et l'on- aura

(62) - — —,— = y/Q — 4^^ = itss' \

le signe est ainsi choisi, parce que s et s^ sont des quantités conjuguées, comme il résulte du calcul précédent, et que it est réel et négatif.

Ayant obtenu s et s^ en fonction rationnelle de t^ nous avons donc, sous la même forme, les éléments nouveaux. Mais il faut réduire leur expression à la forme la plus simple, et, pour ce but, je vais exprimer tss^ par une fraction du premier degré. Soit

la fraction cherchée. Ayant mis la relation (6i) et son analogue sous la forme

on conclura que l'égalité