CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

à quoi il faut joindre l'équation d'homogénéité (16 j 4^, ^ +6^3— -- = <:« — «? «•

Ces deux équations, résolues par rapport aux deux dérivées, donnent

On pourrait aisément déduire ces deux dernières, par intégration directe, des relations (i4)-

Dérivées de :^u par rapport aux invariants. Équation aux dérivées partielles. Développement de :fn.

Ecrivons l'équation (i5) sous la forme

|-DIog^«=^(^^«-pa-,-L^2«^).

La fonction qui est dérivée au second membre s'évanouit avec u, en sorte qu'on a

Il convient de modifier le second membre par la relation

et le premier, en mettant à sa place

D\o":a'u———Da'u.

° (jU

Le dénominateur liu étant alors chassé, on obtient

Ô- J II (18) Do-if ^ 3"'if-f- Jj^2«2- "= -^^ -r-YigiU--ll-

OOO PUEMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Joignons à cette relation celle d'homogénéité

et nous aurons ainsi les deux nouvelles dérivées de du^

fJ 3- it (T- :fii , , ^ , , , , r^ ::' «<

La relation (18) constitue une équation aux dérivées partielles, linéaire ; remettons pour le symbole D son expression explicite, et nous aurons cette équation

(2') ^7771- - 12^-3 -^ f gi ^7:7- ^- tV .^-ï"- o-j^ = o.

Elle fournit une équation récurrente très commode pour le développement de du suivant les puissances ascendantes de u

5! •'7! "(271-Hi)! '

Il y a une simplification dans les coefficients numériques avec tm changement de notation :

/ ()^>„i dh„^x\ (in — \)(n — \)

I l>2=-~llï, ^'3 = — 4/13, bi = — Ç)h'j,

I b~= — 1^hJlz, 6^=— 3.25/j§ -f-3.23/l'|,

67 = 22.32.19/^1^3, ôg = 3 /îoCa" .23 Aj -T- 107 A|), ....

Remarques sur l'opération D = i2i'3 t \- 1 gr, —— •

Parmi les fonctions de g^ et ^3, se trouvent le discriminant A et les racines gj, eo, Cj ; et nous allons avoir besoin de connaître le résultat de l'opération D sur ces quantités. D'abord, et c'eit la