CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS
cilement par la méthode des coefficients indéterminés. Le dénominateur, commun à a, b, c, est le discriminant
et riiomogénéité enseigne que, sauf des coefficients numériques a, |j, V, on a
Le calcul se fait donc avec un exemple numérique :
\y^ — * 2 J — ffz= 4 J>-^ — 3 j — I = (y — i) ( iy -h i)^,
niA
AA
c — Tffia
Observons les relations
c(^c-\g,a)-\g,ab=-i^gJ-'~^/^'' =-23 Ç, et concluons de (12), (i3)
i^'u\ ôg^ ôg. ) \ \- jj«; A^-
Remplaçantc, h par leurs expressions, supprimant le dénominateur commun A, multipliant aussi par 77^ ]-i u aux deux membres, nous obtenons
tSl-Â^ ^^"^Sz-r;- = 2^î<p £<^4'p-« — 1^2;
"ft 3 "ô 2
c'est la relation (5). On a aussi
\gza''-—b{c — \g^a) = o;
d'où se déduit
8 / dpu ,(9p?A o>.3/ pu
' a -'' o -^ — ■ = -— ( ît + 2 ''
p'u\ dg^^ dffs / A V p'u
Coi 'Jgi
c'est la relati«D d'homogénéité (i).
Les formules (12) et (i3) fournissent donc le résultat de la résolution des égalités (i) et (5) par rapport aux deux dérivées. En y substituant les expressions de a, b^ c, nous aurons les formules définitives
( ^-JT^ = P'«(— I ^3 Ç «i H- \ S\ «) — 95-3?" « -^\g\pu^ \ g.gz.
En prenant, pour chaque terme des seconds membres, le développement suivant les puissances ascendantes de u. (IV, 4 et V, 11), on vérifiera que les deux dérivées se réduisent à zéro avec w, comme cela doit être d'après le développement de pu.
Dérivées de "C^u par rapport aux invariants.
On obtiendra ces dérivées en intégrant, par rapport à i/,.les dérivées de pu ; c'est ce qui résulte des égalités
Ou dsr du àff
Le calcul est immédiat si l'on prend pour point de départ la première égalité (^) après l'avoir écrite ainsi
D p u = 2{p'u lu — p2 «) +6j3'- U~l-g.2= 2~ (pu ^U) + p"u — i^2,
La fonction, dont la dérivée figure ici au second membre, s'évanouit avec M, en sorte qu'on a
(i5) D Cm = — apiiÇii — p'i<-l- i^2«,
