CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS

de ces deux dernières. Nous affecterons, en outre, ce rapport d'un coefficient numérique. Soit donc ù cette variable

t Cl) O)

Nous avons, d'après (40'

Dlî = — m ( — ) ) r.co' — r.'w = mi - •

Soit z une fonction homogène et du degré zéro; sa dérivée, par rapport à Q, sera fournie par l'égalilé

D^ = — 2 r ^ -^ T, — ; = -— Vil = — mi - ] -i- ■ \ ' ôiù ' <Joj J du \oj/ diî

Par exemple, DA étant nul, on aura

dii

du m-'- '

,„^, ' ■ /»-- f/losAw'-^

(65) Tjto =

Si Ton suppose 7,(0' — r/to = i - , c'est-à-dire /?i = i , alors Q

coïncide avec la quantité désignée par log^ au Chapitre ^ III, et l'on retrouve la relation (VIII, 48)

•24 f/lng(y

Notons encore, d'après (43), cette autre conséquence

Nous venons de supposer une fonction ne contenant pas it. Prenons maintenant une fonction des trois variables u, co, co', homogène et de degré quelconque /), en sorte qu'en ait

C'est ainsi que ^u est une telle fonction eu degré H- i, iTw du

degré — ^t pit du degré — 2, etc. Prenons la combinaison

/(^, ii) =

OiP

c'est une fonction des deux seules variables v, Q. Calculons les

, , . , Ti 1 aF ()F ()F , 11,

dérivées. 11 est entendu crue^ ? -r— > ^—,3 . . . représentent les de-

^ ou oo) aw ^

rivées partielles de F(j^, to, to') dans lesquelles, après le calcul, on

1 /-\ y àf df 11/-'

remplace ?/ par awc. louant a y-j ■- ? . . ., ce sont les dérivées partielles de y par rapport aux deux variables v, Q, qui figurent dans cette fonction.

En dérivant, par rapport à ç^, to, w', les deux membres de l'égalité

(aP/{v, O) = F(2Wf, o), co') == F(«<, w, co'), (f/, = swt^) nous avons successivement

df do dV dY , df dY

^ '' du dix) du ÔLO dv doi

df dil dF