CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX INVARIANTS. SiC

La fonction y (q) a pour dernière valeur o quand A devient nu!. ^3 étant positif; nous n'avons pas précisé sa valeur extrême pour A = o, ^3 < o ; ce qui serait cependant facile, au moven de l'expression asvraptotique de co, mais entraînerait à quelques détails un peu longs. Ici nous voyons que '-^(i) est nul aux deux limites. Ainsi '-2(^1) et '^{co) partent de zéro et reviennent àzéro en restant toujours négatives, C2(e3)part de zéro et \ revient, en restant toujours positive.

Dérivées par rapport aux périodes.

La connaissance des dérivées, prises par rapport aux invariants, va nous permettre de trouver, par un calcul direct, d'autres dérivées bien moins immédiates : celles qui sont prises par rapport aux périodes. Il est clair que le système de trois variables «, oj, co'. peut remplacer le système m, ^o, g^.

Ce changement de variables se fera, à la manière ordinaire, par le moyen des relations (3j) où l'on mettra successivement w et oj' au lieu de w. ^lais il est beaucoup plus simple d'utiliser la relation (36)

Dw= — 2T,, D = I2^3— — 30,-

Soit z une fonction quelconque des variables ci-dessus; on aura avec les nouvelles variables

(60) D^= — Dw-^-^Dw' = — 2 ('r.^ -t-t/ ^V ^ ' ûio dix}' \' doi ' du)' J

Cette formule (60) nous suffira; mais on peut v joindre la relation d'homogénéité

f):. , f)z <)z <iz

(61) u) ;- 10 — ; := — 4 ^0 - — — 6 ir-i — •

^ ' Ouj Oui' àg-, ° Ogi

Soit, par exemple, ^ == y, ; on aura, d'après (38),

dr^ , , Or, j

d(M ' doi' 12»- '

f o) - — i- co -— , = — T, ;

tl'où Ton tirera, en supposanl r.to' — v,' t<) = mi-^, -r- ^- --■' {j\ff2^'M —rj, ),

ÔIX) UlT.

Soil. en second lieu, c = A, on aura, d'après (24),

' '.'(x) ' C'Ol'

iJLO OU)

fjLo ni ~

tormules intéressantes, faisant apparaître r, et r/ comme étant, ;'i des facteurs numéritjues près, les dérivées logarithmiques du discriminant par rapport aux périodes

ini- à\oii\ , mi- rMoEjA

Enlin léfpiation l'ondamenlale ('2»), satisfaite par i':^ j^/, se (liante en cette autre

à-r ày i)v ,

( () I ) — ^ — ir, -ir •-, — ,-., g., u-Y = 0.

' ' ûu- Oui ' (Joi ' - ' -^

Cette forme ne semble guère pou\oir être utile à cause de la présence des quantités r,, r/, g:,', niais un changement d'inconnue va bientôt l'aire disparaître ces quantités et nous conduire à la propriété fondamentale (VIII, ^y ) qui caractérise les fonctions ?j.

Dérivées par rapport à logw/.

Dans un des paragra[)hes précédents, on a considéré en particuber les fonctions homogènes et du degré zéro; il convenait, |)Our elles, de prendre comme variable l'invariant absolu J, au lieu de ff.2 et ^u ; car elles ne dépendent que d'une seule variable, non de deux. De même, pour ces fonctions, au lieu des deux variables 0), co', oii devra considcTcr une seule variable, le rapport