CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPORT AUX I.NVARLOiTS

Équation aux dérivées partielles, vérifiée par les fonctions 3;.

Conservons aux lettres employées les mêmes significations que dans le calcul précédent, et prenons la combinaison

(70) z = e-2';to^-(Awï2) 24y((,^û).

Les coefficients introduits sont homogènes et du degré zéro, en sorte que z est aussi une fonction des deux seules variables, v^ ù. Calculons les deux dérivées suivantes :

di>i ^ ^ \(Jv-^ ' f)ç ^ ' -• . // J 1

Formons maintenant la combinaison

(71) ^= ck^--^ "'''■- éi>'

et examinons d'abord quels sont les termes contenant seulementy, sans dérivées.

Sauf le facteur placé en dehors des crochets, ces termes sont, d'après (65) et (67),

}6r,-oi-v- — 4Tr,io,

, . d r.oi

du. io- .

-^ g "i-' 2ïi ""^ 4(2/'-i-i)r.oi.

La somme de ces coefficients est (8/?r,oi H- ^gi^' ^'")- Les autres termes n'offrent pas de réduction, et Ton a ainsi

e2r)wi'-(Aoj»2; ""aT" U

ce que nous pouvons écrire, d'après les égalités (68) et (69), sous

cette autre forme

Telle est la transformation de la quantité U(7i), quand on pose, conformément à l'égalité (70),

(73) z = e-2-r,a).VA,oi2)~4- ^ ' "' "'^ "''\ u = 1i^^i',

^ ' ^ ' Cl)/-' '

et que F est une fonction homogène du degré p.

Nous retrouvons ici, dans l'expression (72) de U, le premier membre de l'équation (64); c'est aussi, nous l'avons vu (p. 32o), le premier membre de l'équation bien étudiée déjà

(74 ) -^^^-^y^-h St "'J = o.

Cette dernière a donc pour transformée, avec les variables ;,

ou, en supposant m ^ \ \ r,oj — Tj co = — 1 ?

ôv^ à .ogq '■

C'est l'équation déjà trouvée (VIIT, 37) comme étant satisfaite par les fonctions 'bv, d'après la forme de ces fonctions. Nous allons maintenant, d'une manière sommaire, retrouver ici, par une i^oie nouvelle, les principaux résultats obtenus au Chapitre VIII.

Expression des fonctions 5 par les fonctions ::'.

Supposons, dans (78), F remplacé par a*, dont le degré/j» est l'unité. La fonction

■.(.) = e-2vi^^-(Aa.t2)l^(^"^';^'"') satisfait à l'équation (70 o), puisque d satisfait à l'équation (74)-