CHAPITRE IX. — DÉRIVÉES PAR RAPPOKT AUX INVARIANTS

De plus, d'après la propriété de a",

la fonction :; a la propriété correspondante

c'est aussi, comme d, une fonction impaire. En admettant donc qu'elle se développe en série Irigonométrique, on posera

z(i') = Aisinf--!-A3sin3PT:-i-...-^ A2/,+i iin^-xn -\- i)v~ -h . . ..

L'équation ("jo a) impose aux coefficients A, indépendants de r, la condition générale

La solution de cette équation différentielle est

le coefficient C2n+i devant être purement numérique. Pour déterminer ce coefficient, invoquons, avec Jacobi ('), la propriété que possède d de s'annuler pour u =^ 2oj'; par conséquent z(v) doit

être nul pour c = — . Cette valeur de v donne

■ / \ ï 1 (2« + I)7;(— —{2n-hl]',:i-— \ I , „„,n o„a-i\

i,in( in -7- i)vT. = —A e w e ' w = —J q~^^''+^'— q-'^+^),

^ Il ' ' -2.1 ^

A2„+lS;n(2n + l)t'- = ;^-.C.2n+iq^^^^ (g-(2«-H) ^2/i + l )

= Ac.„,y-.[,('^)'-/^/].

On doit donc avoir

C3 = Cl, C5=-i-Ci, C-= — Ci, C9 = + Ci,

(' ) Ueber die partielle Dijferentialgleichung, welcher die Zcihler und IVenner der elliptischen Functionen geniige leisten {Journal de Crelle, t. LWWl, et C.G.J. Jacobi's gesammelte Werke, t. II, p. 170).

Il n'y a donc plus qu'un coefficient numérique C\ inconnu dans la formule

fi i (ii^y I

x;(t>) = Cl [^^4 sint^TT — g* sin3P7H-...+ (— i)"ç\ 2 / sin(2n + ij^ir...]

Au Chapitre VIII, le coefficient, par où la série et la fonction considérée différaient, dépendait de ty, et il a fallu un détour assez long pour trouver l'expression eff"ective de cette série. Ici le coefficient numérique c, se trouve aisément. Supposons, à cet eff'et, que le discriminant tende vers zéro, g^ étant positif. Alors q tend vers zéro; et l'on a (Ghap. II et III, p. 67 et 89)

im^^ j-^ = 712.

D'autre part, la dégénérescence de du donne ici (VI, 38)

comme on le voit, en se rappelant que 7]tj> a pour limite —(V, Sa). On a donc

lim — -j— = 2 s/v: sin PTT, Cl = 2 ^tz-

Ainsi, en posant, comme au Chapitre VIII,

fi. - •

(76) ?JiV = lYq* ?,\nvTZ + q'* 'im'ivT: -^ . . .

-^{—iYq\ 2 ; sin(2/i + i)i'7î. . .J,

on a, pour cette fonction, l'expression

(^7) 3r,p= -1^((;) = 4 /- A8 O-MC 2 "w ^ ?<=2a)C,

/tt V "^

conforme à celle qui a été déjà trouvée (VIII, 49)- Les autres relations analogues se déduisent immédiatement de celle-ci, et il n'est pas utile d'y insister. On peut seulement dire qu'il est loisible de les obtenir directement en construisant les autres fonctions S, comme on vient de le faire pour S,, au lieu de les déduire de 3,.