CHAPITRE X. — SÉRIES HYPERGÉOMÉTRIQUES POUR LES PÉRIODES

Pour obtenir le numérateur de la fraction ayant pour dénominateur X — A), il faut prendre dans u'-R les deux fractions dont les dénominateurs sont (X — A,)(X — Ao) et (X — A,)(X — A3). La première fournit le résidu

la seconde

Al — A3

Dans w-Q les deux fractions dont les dénominateurs sont aussi (X — A, )(X — Ao) et (X — A,)(X — A3) donnent les résidus correspondants

La somme de ces derniers, moins celle des premiers, fait

= — ^{i — q L — q-2-i- q-i)^' iii~ ^ (i — '/i — '/i— '/a)'-'' «<i = — -x'(i — 71) «i-

En y ajoutant le numérateur -:a'(i — q\)u\ de la fraction à dénominateur (X — A,), qui existe déjà dans i^-Q, on trouve ainsi zéro. Toutes les fractions disparaissent donc dans u-Ç^ — m-R. De plus, la partie entière disparaît aussi, d'après le calcul qui précède. Donc lâ^l = «-R, ce qui achève la démonstration.

Série hypergéométrique .

De ces deux propriétés résultent de nombreuses conséquences. En premier lieu, supposons <2( = 0, a-^^i, «3 =: ao ; l'équation (i) se réduit à

\ dx''- \ X X — i I dx

^ (i — yi — qi—q-i )(r - gi — q-i-^q^) ^ ^

^x{x — ij -^

Si l'on fail

(3) Y = 1-7,, ^ = {{1— qi — q-i- q-i), ? = {{^— qi— q-i-^ qs), lY'quation s'écrit ainsi

C'est la forme emplovée par Gaiiss('). On vérifie par la substitution directe que cette équation admet la solution

i.Y i.a.YlY--')

Nous dénoterons par [^,, ^o» ^sî -^î] cette série; ainsi a, |B, v étant liés à ^), ^o» '/a pai' les relations (3), ou inversemeut

nous posons

(/) F(x, 3, Y, x) = [qi, q., rj^; x].

Diverses solutions de l'équation hypergéométrique . Si nous changeons de variables dans (2) en posant

on a précisément X= A,, Ao, A3, en correspondance avec

La transformée a donc la forme générale ci-dessus. Donc réf[uation générale (1) a, pour solution particulière,

/ON / ,- ;(i-'7i-7î-73) r ^2 — as X — ai~\

(8) yi=(x—a.i) î ' ' ' \r[i,q,,q3; ■

[ a^ — ai X — «sj

(') Cari Fiiediich Gauss U'er/.e, t. III, p. 1^3, 197, •207.