CHAPITRE X. — SÉRIES UYPERGÉ03IÉTRIQUES POUR LES PÉRIODES

D'ailleurs

(j — qi —qj)-— ql-^ iqi('i — q-2)

(r— 7,— 7.> )-^— y| Cl — q, — q. — q^)(i — q\— q-i— q^\ i 4

Le coefficient de y^ dans (i), se compose de la somme de trois termes. La dernière égalité montre que le premier de ces trois termes subit la transformation indiquée; en échangeant les indices 2 et !1, on obtient pareil résultat pour le troisième terme; quant au second, il n'est pas altéré par le changement de q\ en — q^. Le résultat annoncé est donc établi.

2° Si l'on fait le changement de variables

accompagné du changement de lettres a A,,-- 3

la transformée en X, Y reproduit la proposée, sauf changement de j?, j', «,, a-ii «3 en X, Y, A,, Ao, A3. Pour le prouver, soient

1 — qi— qi—q^

u = x'X -i- 3', Un= a'A„-

on en déduit

11 suit de là les relations

1 cIy u [ I d\

r/\ — — , —, dx .

y dx a;i' — ^a'V Y d\

\ d'-y I u Y\ ^ d^X ^ , , I rfY , ^ „■]

Si l'on écrit la transformée ainsi

ses coefficients auront les expressions suivantes :

uP = .(X H-I)a' -4- ^7^',^"' - ^7J^-^r^ -^ ''x-ir '

| A — Al A — A2 A. — A3 I

^ X r(l— gi — ^2^^3)t<it<2

' 'il (X-Ai)(X-A2)

^ {i — qi—q^-^q\)UiU^ ^ (i — g^ — q\ — qi')uz' ■ (X-A,)(X-A3) ' (X-A3)(X-A,j

Dans l'expression de ;^P, remplaçons 2(-: -h i) par

(i — ^i) + (i — 5^2) --(1 — ^3), qui lui est égal. On a

Uj ,. a^A,^- P' a'X + p' u

X — Al X — Al X — Al X — Al

La même transformation étant faite pour chacun des trois termes analogues, il en résulte

t — qi . ' — ^2 , T — ^5

X — Al X— A2 X — A

Le coefficient P a donc bien la forme annoncée. Pour s'assurer qu'il en est de même à l'égard de Q, considérons la quantité

,p. X (l- g, — g,-^ç^)u^- II- I\ ^ - ï^ ; r^ : -T- . . . ,

2 (X-Ai)cX-A,j Décomposons cette dernière en fractions simples. Comme on a i<2 = (a'X-+- ;îi')2, il existe d'abord une partie entière

^^'-[{i — qi — q2 + qz) -^ (i — q-i— q^-^ qi) — {i — q-i — qi-^ q-i )]