CHAPITRE X. — SÉRIES UYPERGÉOMÉTRIQUES POUR LES PÉRIODES. 33g

Chacun des points <7,, c(-2, cii appartient à deux des six régions; ainsi r/, se trouve à la fois dans deux des régions limitées par les cercles C^ et C3. La partie du plan commune à ces deux régions, qu'on peut appeler région («(), entoure le point <7| : huit séries v sont convergentes. Quatre de ces séries fournissent une seule et même fonction j'; les quatre autres, une seconde fonction j^. C'est ce que nous allons reconnaître aisément.

Nous pouvons d'abord distinguer, entre r^s dernières, les deux fonctions j'i eiy\, représentées par les égalités (8) et (9). On y observe cette différence essentielle; quand x devient égal à r/|, >') d'une part, et [x — Ci )~"'^'j'i de l'autre, convergent vers des limites finies, ditTérentes de zéro. Si, par exemple, on suppose q^ négatif (ou à partie réelle négative), j x est infiniment grand pour^^ai. Toute solution de l'équation différentielle (i) peut être mise sous la forme Aj', + Bj', ; si donc une solution est fournie par une fonction qui reste finie pour x =^ Oi, elle sera de la forme A V). Prenons donc la solution qui se déduit de )'( par l'échange des indices 1 et 3, et concluons immédiatement, en observant les valeurs limites pour .r = <7,,

- y-qx-qt-

rt { (7.7 .T —

71, qi, q

) 5'i> 72, qi\ —

Cette égalité, ainsi prouvée pour le cas où q^ a sa partie réelle négative, est évidemment générale. On peut s'en convaincre, soit en observant la parfaite continuité des deux membres, envisagés comme des fonctions de ^1 , soit encore en remarquant que les deux fonctions coïncident, ainsi que leurs dérivées par rapport à x^ pourx = «), et constituent donc une seule et même solution de l'équation dillerentielie (i).

De la seule égalité (12), on peut déduire les autres relations analogues en se rappelant que le changement du signe, pour le troisième argument, n'altère pas la série. Mais il est plus simple encore de reconnaître directement, par un raisonnement tout pareil, la même fonction j'i sous les quatre formes suivantes, déduites de

(10) et (le (i i) avec permutation des indices 2,3:

Ji =

(fl

'?" '^^ '^^ ^IIT^ 5— ^3] '

/ :r — fl.7 \ 2 OTj — rto .r — a\\

(s (' — f?! — '/s+'Za'* /SI- -1

a" «> \ 2 X «3 X'/a 1 «3— «9^7 ail

Semblablenient, en changeant dans ces quatre formules ^, en — ^1 , et multipliant les seconds membres par (^x — «,)'?', on a les c[uatre formes de r^,.

Nous avons ainsi reconnu, comme il a été annoncé, que les huit séries, convergentes dans la région (f^i), représentent en tout deux fonctions. Il en est de même pour les huit séries qui convergent dans la région («2) et aussi pour les huit autres qui convergent dans la région («3).

Cas particulier où l'un des coefficients est nul.

Les deux fonctions ji et r, sont essentiellement distinctes; mais elles coïncident lorsque q^ est égal à zéro. D'après les principes du Calcul différentiel, l'équation (i) admet alors, outre la solution >,, cette autre

1' = Il in •:^ •

Si l'on pose j'i =/(^( ); on en déduit, d'après (8) et (9), / X — ai\'h

y = lim i'-i-^^ = (p ) - 1 j. loj, ^^i^ .

Nous rencontrerons, dans la suite, ce cas particulier; d'après la forme du développement (5) et les relations (3), il n'y aura

aucune difficulté à composer le développement de f -f-^ )