CHAPITRE X. — SÉRIES HYPERGÉOilÉTRIQUES POLR LES PÉRIODES
Développement des périodes en fonction de l'invariant absolu. Discriminant positif.
La lettre x désignant A'- eu et oj étant une période, nous avons
obtenu (IX. 54) pour x Téquation hypergéométrique
Elle est dans la forme même de Gauss ; la correspondance des quantités a et des nombres q est la suivante :
a \ o , I , oc , q : h h o.
Elle offre la particularité signalée tout à l'heure, que l'un des nombres q est nul.
L'ordre des indices (i, 2, 3) et l'ordre (i, 3, 2) donnent les mêmes intégrales, développées suivant les puissances de J ou de
j • L'ordre (2, i, 3) et Tordre (2, 3, i) donnent les développements suivant les puissances de I — Jet de — — L'ordre (3, 2, i)et l'ordre (3, 1,2) donnent les développements suivant les puissances
de -r et de 7 •
Supposons le discriminant A positit. D'après la relation
on voit que J est supérieur à l'unité. Les développements suivant les puissances de — j — -et sui\ant les puissances de -r convergent donc.
Envisageons d'abord les premiers.
L'ordre étant ici (2, 3, i), les deux intégrales particulières sont
34^ PREMIÈRK l'AKTIE. — THÉORIE.
La solution la plus générale est, avec deux constantes arbitraires,
X = aXi -r- l>X-2.
A cause des relations (i4) Lo=x^"^^, A = ^^J-J,
nous aurons, pour une demi-période quelconque co, la forme
et il s'agit de trouver les nombi-es <7, b. A cet effet, supposons, pour fixer les idées, g-^ positif, et envisageons, pour o), la demi-période réelle.
Si J devient égal à l'unité, nous avons déjà trouvé (II, p. 64)
r' dx
De là résulte le coefficient a de l'équation (i5) {17) a = A \/-i.
La dérivée de x, par rapport à J, est infinie pour J = i . comme celle de x^^ mais on a
dx
lim /j — I —--=16.
D'après les égalités (IX; 53, 52,49), cette dernière relation se
change successivement comme il suit :
\b = lim J /.l — I = lim — L^ J '^f = lim — ^ J ^ y>^ a ( j ^ ,-j^ 2^/3 2 y/o
iim'vr.A '\l=~b^-d.
Joignons à cette égalité la précédente pour conclure
/ L \ lim Uo a' -J =z a
lim ( Tj to ) = — ab /j .
