CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOLBLE INDICE

Convergence de la série qui se déduit de la décomposition de p(/ia) en fractions simples.

Examinons, au point de vue de la convergence, la série /(«) (2), dont le terme général a pour expression

( 2 rt o) -1- -2/1' (jj' — it )- ( 1 II oj -^ 1 n M f

Les deux indices n et n' y doivent acquérir toutes les valeurs entières positives ou négatives, à l'exception de n = /l' ^ o.

Envisageant les fonctions elliptiques les plus générales, nous avons été conduits (Chap. YIII, Fonctions elliptiques à i/ivariants imaginaires) À considérer to et to' comme deux quantités quelconques dont le rapport est imaginaire. C'est exactement la supposition que nous venons, à l'instant, d'être contraints de faire pour les quantités «, b dans la dernière série.

Construisons, ainsi que nous l'avons fait avec a, b, un parallélogramme dont les sommets o, r/, b, a' représentent les points zéro, 2tù, 2(oj + u)'), 2tL)', et menons deux séries de droites équidistantes, dans chaque série, parallèles respectivement aux cotés de ce parallélogramme {Jig- 7). Le plan se trouve ainsi partagé

en un réseau de parallélogrammes égaux, dont les sommets rcpri'-sentent les quantités (^/jo) -+- 211' 10').

La quantité tt est, elle aussi, représentée par un point du plan;

le rapport

1 n 0} -+- i. n (ij

-, — 7 a pour valeur absolue le r;q)port des dis-

tances de Torigine à ce point et à un sommet du réseau; il tend vers zéro si ce sommet s'éloigne à l'infini, c'est-à-dire si l'un, au moins, des nombres /?, n' croît et dépasse toute limite, en valeur absolue.

Ecrivant 5 sous la forme suivante

4 /( oj -T- 4 '*' '^'

( ■?. n 10 -i- -1 11 to )•* I

nous reconnaissons que ce terme a pour expression asymptotique

-, — r^7 c est-a-clire, au racteur constant près, 2?<et, saut

(2/ICD -1-2/1 a> ;3 ? 1 ' '

changement des lettres, le terme général de la série (5). Le rapport tolto', qui remplace o\b, est imaginaire ; l'exposant [â est égal à 3. La série est donc absolument convergente. Donc, suivant une proposition générale rappelée précédemment, la série /{u) est absolument convergente.

Développement de j^ u en série à double indice .

Il reste à prouver que la somme de la série y (w) est égale à "pu. Cette démonstration peut maintenant se faire avec facilité, par les moyens usités en pareil cas. Considérons deux nombres positifs arbitraires M, M', et distinguons dans le second membre de la formule (i) deux parties : la première, composée des termes dans lesquels les deux indices /??, 7?^', composant (ï', sont, en valeur absolue, moindres que M et M' respectivement; la seconde, composée des autres termes. Cette décomposition peut se faire, si grands qu'on ait choisi M et M'; il suffit qu'on suppose n supérieur à 2M -f- i, qM'-(-i, et croissant à Tinfini, à partir de cette limite inférieure. Dans la première partie, les diverses valeurs de w sont indépendantes de /? ; par conséquent, les termes correspondants, dans la formule (i), tendent vers ceux de la série f{u)- On peut donc prendre n assez grand pour que la somme de ces termes dans (i) et la somme des termes correspondants dans /(?^) diffèrent moins que d'une quantité donnée. On peut, en même temps, prendre M et M' assez grands pour que la somme des autres termes, dans/(f<),

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soit aussi moindre qu'une quantité donnée, cela en vertu de la convergence de /(a). La démonstration sera complète si l'on établit qu'on peut aussi choisir M et M' assez grands pour que la somme des termes, composant la seconde partie dans la formule (i), soit elle-même moindre qu'une quantité donnée.

On a remarqué, dans le premier paragraphe de ce Chapitre, que

les valeurs de — =: c ont la forme ( pi<i -+■ p'oi'), les fractions />, p'

étant comprises, la première entre zéro et + i, la seconde entre — I et +1. Dans ces limites, les fonctions pv, p'v, p" v ont le seul infini r = o; par conséquent, les produits t'-j3r, — ^v'^p'v^ ^(''j/r, égaux à l'unité pour v=^o, restent finis, et l'on peut assigner des limites supérieures aux valeurs absolues de chacun d'eux. Ceci reconnu, prenons d'abord, dans la formule (i), le premier terme sous le signe de sommation. En l'écrivant ainsi

4(-Jt^^pV)=

nous reconnaissons qu'il a pour expression asjmptotique

Puisque ( — ^ v'"' p' v)- est une quantité limitée, ce terme est comparable à — -1 terme général d'une série absolument convergente:

et l'on peut prendre M et M' assez grands pour que la somme de tous les termes analogues soit aussi petite qu'on voudra.

Prenons ensuite, dans la formule (i), le second terme sous le signe de sommation. On peut l'écrire

n edf'ip'V)

V'' Il ^ n J \n^'^ n w^ ^ J

son expression asymptolique

est comparable à — ;, terme général d'une série absolument con-

vergente, et la conclusion est la même que précédemment. Il est donc établi que la fonction pu est représentée par la série convemente

= o, =1, zna,

Il == n' = O excepté.

Observations sur le développement de pu. Double périodicité.

Une des premières conséquences de la formule (6) se rapporte à une nouvelle forme du développement de pu suivant les puissances ascendantes de u. Effectivement, chaque terme étant développé suivant ces puissances, on obtient

Comparant cette formule à celle qu'on a déjà obtenue (IV, 4), on en déduit

f *°-2^3=2^3.5.7.ii2],-^' ••••

Ainsi toutes les séries > - — ^ où ni est un nombre entier

Ja^ (l'-'«

positif, au moins égala 2, s'expriment en fonction rationnelle et entière des deux premières d'entre elles. C'est là un fait algébrique des plus remarquables.

L'observation qu'il y a lieu de faire ensuite sur la formule (6), c'est que, peu utile pour le calcul numérique, elle est merveilleusement propre à mettre en évidence la nature de la fonction pu. On y lit, en effet, immédiatement que pu devient infini pour u = w, et que [( u — ^'^O'P '']"=»' ^ pour limite l'unité. La double