CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

Envisageons, de même, les termes Zy m, ^j j,, ..., ^m i m- Faisons la même construction dans l'ordre inverse, c'est-à-dire complétons le parallélogramme oaba' ] désignons par p', et p!, le plus jietit et le plus grand rajon allant de l'origine à un point du segment ha' ^ ou, ce qui revient au même, allant de b au segment oa. La somme des valeurs absolues des nouveaux termes est comprise

entre

II II

el —

A celte double suite de termes, joignons encore ^m,m- En désignant par p la longueur oh, on a pour la valeur absolue de ce terme

\ expression -■, qui est comprise entre zéro et — , ooient

maintenant

3 ■ .'3' "' ,8 p'^îi ■ p?

La somme totale des valeurs absolues de tous les termes considérés est comprise entre les deux limites

Les deux quantités positives R,, Ro dépendent seulement de la disposition du triangle oab. Mais il faut avoir soin d'observer que leur existence est subordonnée à l'existence même de ce triangle. Si les droites o«, ab coïncidaient, si, par exemple, b était situé sur le segment oa ou son prolongement, p', serait nul, et R, cesserait d'exister. Si b était situé sur le prolongement de «o , o, serait nul, et R, n'existerait pas non plus. Pour que les droites oa et ab ne coïncident pas, il faut et il suffit que {a^b-, — a^ibi) ne soit pas

nul, c'est-à-dire que le rapport j ne soit pas réel. Supposons (piil

en soit ainsi.

Les termes que nous avons envisagés sont tous ceux où le jjIus grand des deux indices /?i, n est égal à M. La somme de leurs valeurs absolues est comprise entre les deux limites (4).

En prenant successivement, pour M, les nombres i, 2, 3, . . ., nous reproduirons, rangés par groupes, tous les termes de notre

série, chacun pris une seule fois, et nous aurons formé une série ordinaire dont la somme sera comprise entre les deux limites

B.y -4- et R.y-^

Mais la série ^— ^ — ' suivant la troisième proposition, converge

ou divei'ge suivant que (|i — i) surpasse ou non Tunité. La condition de convergence absolue, pour notre série, est donc [^ >> 2. En résumé :

Si a et b sont deux quantités complexes, dojnt le rapport k'est pas réel, la condition de convergence absolue pour la série

{/na -r- nb )t> 11 \

(/?? ^ /? = o excepté), consiste en ce que l'exposant réel ,3 surpasse le nombre 2 (').

Avec la série précédente, prenons ces trois autres

(ma — nb)'y ^ {— ma -^ nb p'' ^ad {— ma — nb p'

OÙ ;??, n parcourent les mêmes suites de valeurs. Pour chacune d'elles, les deux conditions de convergence absolue, savoir ,3 > 2

et j imaginaire, sont les mêmes que pour la précédente. Il en est

donc de même pour la somme des quatre séries. En d'autres termes, les conditions de convergence absolue sont encore les mêmes pour la série

(o) > j-zi ,• = o, =1, rt: 2, . . ., =z 3=,

^ ' Jmd{ma— nb)? n\

m = /? = o étant excepté.

(') Ici, comme dans la troisième proposition, on peut supposer |i imaginaire, et la condition s'applique alors à la partie l'éelle de p; mais cette généralisation nous est inutile.