CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

On remarquera que cette forme du second membre fournit, plus immédiatement que dans la formule (i), la limite de chaque terme, pour /? ^ X . Mais elle exigerait un détour de raisonnement pour qu'on en pût conclure qu'effectivement le second membre et la série (6) ont même limite. Ce détour cesse d'être nécessaire à l'égard des formules dérivées de (8). Pour ces dernières, tous les termes suivent une seule et même loi, et l'on peut écrire en général

( w = 1 m 10 -h 1 m 10 , , > = o, nz I , 2, .

1 rn \

Nous concluons de là, pour la formule limite,

[ jy[A'« = ( — i)!J..2.3.. .(.j.L-,)y

( Il — ir jU-+2

w = AHM -h 2n M , , > = o, =r I, dz 2, . . . . z[r 00 ,

En effets d'abord, tous les termes de la somme (9) où tji, m', en valeur absolue, sont respectivement moindres que deux nombres arbitraires M, M', convergent vers les termes correspondants de la série (10). En second lieu, la somme des valeurs absolues des termes de la somme (9), où ± m, rh m' dépassent M et M', peut, parle choix de M et M', être rendue aussi petite qu'on voudra. C'est cette dernière partie qui, non immédiatement évidente dans la formule (8), est évidente dans la formule actuelle (9).

Effectivement, un terme quelconque peut être écrit ainsi

Or (', ainsi qu'on l'a déjà observé, est limité dans une étendue telle que la fonction (^H-^-ptl^'i^ j reste toujours finie. On en peut dire

autant de cette même fonction quand on y remplace r par (r — j.

si n est pris assez grand. Le terme / diffère donc seulement par

un facteur limité de -, -— ^ > qui est, lui, le terme général d'une

(il W)^^^ T ' ' o

SyO PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

série absolument convergente. Par conséquent, la somme des termes analogues à t, où m, /?^' surpassent M etM', peut être rendue inférieure à toute quantité donnée, comme il le fallait prouver.

La série (lo), de même que la précédente (6), met en évidence les infinis u = w des dérivées de jdw ; on y lit la double périodicité mieux encore que dans (6); car, si (v, est une période, le changement de u en (m h- w^ ) a pour simple effet d'échanger les termes les uns dans les autres.

Développement de Ijt en série à double indice.

On peut tirer le développement de "Qu de la formule (6) en intégrant aux deux membres. Mais nous adopterons encore la méthode plus élémentaire qui consiste à déduire d'abord de la formule ( 8) son analogue pour la fonction "C^u. En intégrant chaque membre

de cette égalité (8) et observant que iX^u )> (-^ ) ^nt

tous deux, la limite zéro pour u ^=- o, nous obtenons

(il) ^i<=-Ç--h>( Ç •

^ ' nu II ^ \ n

et (ip doit être pris comme dans la formule (i). Voulant reproduire une analyse semblable aux précédentes, occupons-nous d'abord de ce qui en était tout à l'heure la troisième partie, en considérant les termes où les nombres m et dz ni! surpassent deux nombres arbitraires M et M'. D'après la formule d'addition (V, i6), transformons le terme général t^ du second membre (i i) successivement ainsi :

Il II IV- "