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terme général d'une série absolument convergente, puisqu'il est

comparable à — r- De là résulte que, n étant suffisamment "rand,

on peut prendre M et M' tels que la somme des termes ti soit, en valeur absolue, inférieure à toute quantité donnée.

Il reste maintenant à former, avec les limites des autres termes delà somme (ii), une série convergente. Mais, pour que, dans cette série, on puisse, comme dans les précédentes, séparer les termes qui répondent à deux valeurs de w, égales et de signes contraires, nous ajouterons, sous le signe sommatoire, dans (ii), les

, <^ iV y, / w\ . , , . , .

deux termes ^— et C ? qui se détruisent, et nous écrirons

(il rt) 111= - 1- -^ y \ : r-- r — ■: — ; p- \;

n n .Smà L 'i II n ' Il ii- n J

les valeurs de w seront alors les mêmes que dans la formule {^ o). De là se conclut la série

Il ^^\^it — w iV w- \

oix w a les mêmes valeurs que dans la formule (6). Le terme général de la série (12) est efTectivement la limite du terme général dans la somme (1 1 a). De plus, la série est absolument convergente;

car on a

terme comparable à - , •

La série (12), comme les précédentes, met en évidence les infinis de (!^a; quant à la propriété relative à l'addition d'une période, on peut la reconnaître par le calcul suivant, analogue à celui qui a été fait déjà pour la série pu, mais un peu plus compliqué.

Désignant par (\', une période, nous écrirons dabord, en exceptant de la sommation les valeurs (v ::=: o et (v^ = — «v,,

II ff-Hd'i (ï'ï (ï'i .^^[^u — iv ((J'-i-iv'i)- (ï'-l-d^ij

•^ Vu u -T- (l'i I I 1

Nous passerons de là à la forme suivante :

Dans la première série S,, est exceptée la seule valeur (V'= — «v'i ; dans les deux autres, sont exceptées les valeurs w = o et

tV = (V, .

La série So, qu'on a déjà rencontrée dans le calcul analogue pour pi(, est nulle. La série S3 est une quantité indépendante de

Kf qu'on désignera par — 2yJ, en y adjoignant le terme

Quant à la série S|, avec le terme qui la précède, elle représente ^(1/ H- (V,), comme il résulte du cliangement de w en (w — ir, ). On a donc effectivement

lu = tl{u -+- ir, j — o.-?;.