CBAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

La formule (i4) niet en évidence la nature de la fonction IjÙ, qui s'offre nettement comme avant, pour toute valeur de w, une valeur finie; on y voit les racines u = w. Quant aux propriétés relatives à l'addition d'une période, leur vérification n'offre aucune difficulté ; il suffit, pour la faire, de reproduire exactement le calcul qui a été développé dans le paragraphe précédent à l'égard de la série t,ii. Mais cette vérification va être effectuée d'une autre manière; ce sera une des conséquences de l'analyse qui va suivre.

Transformation de ■:'(u^a).

D'après la formule (i4)> les facteurs du produit infini •j ( u +«) ont la forme( i ~~)* Notre but actuel est de remplacer ces

facteurs par ( i — ) • Le rapport de ces facteurs est indépendant de u, car on a

C'est dans la transformation des exponentielles que réside le calcul. L'exponentielle qui accompagne le facteur envisagé a pour exposant p,

Considérons les deux quantités suivantes

u x-' it I a- o

pl= - I H ' p2= ; H '

et retranclions-les de p ; voici le résultat :

(l5) P = Pl-H P2-h j«- -- — ; -\-U\ --\ 1 ) •

Mettons, en outre, le premier facteur (?/-+- ci) sous la forme

I it'- u 1 II' Il

Remplaçons maintenant, dans le produit infini d(u -+- a), o par

l'expression (i5) et partageons ce produit en quatre autres, tous absolument convergents :

1° Une exponentielle dont l'exposant est

1° Une seconde exponentielle dont l'exposant est

3° Le produit provenant de l'adjonction des facteurs eP^ aux binômes ( I '-\-, avec le facteur a du produit (16),

4° Le produit provenant de l'adjonction des facteurs ePi aux binômes I I ^ j j auquel on adjoint les deux derniers facteurs

(i(3). Ce produit a la forme

où w parcourt toutes les périodes, y compris zéro. De cette façon, nous obtenons la formule

dont nous ferons divers usages.

Tout d'abord, nous allons en tirer parti pour reconnaître l'effet de l'addition d'une période iv^ à l'argument de la fonction d. Nous observerons, à cet effet, que f (11, a) est doublement périodique par rapport à a; car le changement de a en (a + çV)) échange, les uns dans les autres, les facteurs du produit (17). Connaissant déjà les deux relations

p(« -h iv'i) = pa, ^« -+- (V'i) = C« -+- 2-^,