CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

Nouvelle démonstration pour la décomposition des fonctions doublement périodiques en éléments simples.

Considérons la fonction suivante

'{Il — a') j{ii — b'). . . '^{u — t')

où les facteurs sont en même nombre au numérateur et au dénominateur, où, de plus, la somme des racines est égale à la somme des infinis

('26) rt'-h 6' — . . .-H ^'= rt -f- 6 -h. . .-f- ^

On l'a vu au Chapitre VU, ceci est la forme générale des fonctions rationnelles de paei pu] mais actuellement nous devons faire abstraction de ce fait : nous avons seulement, d'après la relation (23), une conséquence de la condition ('i6) : ^{u) est doublement périodique. Nous profiterons de cette propriété au cours de notre analvse; mais c'est d'une autre manière que la condition (26) manifeste son importance tout d'abord.

Prenons, pour chaque fonction d dans le produit (20), un facteur de son développement, celui qui répond à une même période (T'. La condition (26) a pour effet de faire disparaître u dans l'exponentielle. Si, pour abréger, on pose

on obtient cette expression de ^(u) en produit infini absolument convergent

^^' ^ j X TT (<^ — " + «')("^ — "-+-^')---('^ — » + <') Jr^

f ^XX {w — u-+-a){w — u -^ b). . .{iv — u-ht)

Si nous limitions les valeurs absolues de 7i, n', nombres qui composent w = '2.IH.0 + 2/1' w', ^^{u) se changerait en unef/riclion rationnelle '^(w)-

Nous pouvons considérer ^I'(//) comme la limite vers laquelle

converge cette fraction 'j>{(t), quand, supposant toujours

=hrt<IV, ii=/i'<N',

les nombres N et N' deviennent infinis. Cela étant, nous allons décomposer 'j>(ii) en fractions simples et chercher la limite de la formule de décomposition; ce sera une nouvelle forme de ^{n). Les deux termes de la fraction '-2(11) étant d'un même degré, la partie entière, dans la décomposition, est indépendante de u. Soit C cette partie entière. Les fractions ont pour dénominateurs

(Il — a — w), {a — b — (p), ..., (u — t — iv),

avec les diverses valeurs de ^^v, y compris zéro. Les numérateurs de ces fractions, ou résidus, sont respectivement

t',v= [( u — t — iv) '■:?{u)]n = i+w Comparons-les avec les résidus correspondants de ^(u), savoir

,3,w= [iu— b~w)ft>{u)]u = !,+w,

u — t — iV) ^i>(u)]„-l+i^..

Chacun des derniers, a,,, par exemple, est le produit de facteurs en nombre illimité, mais ce produit est absolument convergent. Chacun des premiers, y.[^, par exemple, est le produit de facteurs en nombre limité, et tous les facteurs qui composent a',^, font partie du produit y.^^,^ absolument convergent. Mais la double périodicité de ^(ii) nous apprend aussi que les résidus a,^,, [3,,,, ..., t^, sont indépendants de w, et coïncident avec ag, ^0, . . ., Tq. Le produit, absolument convergent, a,^, a donc une valeur finie, qui ne varie pas avec (V, et l'on peut déjà affirmer que a'„, a, lui aussi, une valeur finie, dont on pourrait assigner une limite supérieure invariable, si grands que soient les nombres n et «'. U en est tout autant pour [S',,, . . ., t'^,. Soient donc M et M' deux nombres arbitraires, mais qu'on ne fera pas varier avec N et N'. Prenons les

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fractions où zzz n el ziz n' sont compris respectivement entre M, N et M', 'S', et distinguons par l'indice i les valeurs de (v correspondantes. La somme de ces fractions est

^d\u — a — iVi IL — b — tvj ••■ ^^ — ^ — ^^^J Nous servant de l'identité

w\{Wi — V)'

et y mettant successivement (a — a), (a — b), . . ., (w — t), à la place de ç, changeons S, en la somme de deux autres quantités :

\^ [ 'J-iv^^ u — a)' 3iv/" — b )-

"' ^^\w\{ivx — ii-\-a) ' iv'l{(Vi — u-hb)

Cette dernière quantité ^^ donne lieu à l'observation suivante. Les numérateurs étant limités en valeur absolue, les termes qui composent S| sont ceux d'une série absolument convergente, car les dénominateurs sont comparables à w\. Donc on peut prendre Met M' assez grands pour que ci soit inférieur à une quantité donnée, si petite qu'elle soit.

Prenons, d'autre part, les fractions où riz /i et riz n' sont moindres respectivement que .M et M'. Quand w est ainsi limité, et que N, N' deviennent infinis, '^{u) tendant vers ^[ii)^ a,^, tend vers a,^,= ao. Donc a',,,, j3;^, ..., -[^ diffèrent de ao, [Bq, ..., To par des quantités que l'on peut rendre aussi petites qu'on voudra en prenant N et N' assez grands. La somme S de ces fractions peut donc se représenter par

el £ désigne une quantité infiniment petite quand N et N' sont infiniment grands. Ici w, rappelons-le, est une période quelconque, y compris zéro; mais ± /i et riz n' ne dépassent pas les nombres fixes M et M'.

Maintenant, en ajoutant et retranchant certains termes, écrivons S sous la forme

S = ç+Th-R,

Dans ces dernière's sommations, (v = o est excepté. On voit que R se compose du développement de

oc ,, ^ ( « - « ) ^ [i 0 r ( « - ^ ) + . • • -^ - 0 ? ( J/. - 0 ,

limité aux termes où n, n' ne dépassent pas M et M'. La dilTérence s' entre R. et cette dernière fonction peut donc être rendue aussi petite qu'on veut par le choix de M, M'. Soit donc

il>{u)= o(u) — olq !;(;< — «)— po Z{u — b) — . . . — -Zf, t{u — t),

nous avons

Les trois premiers termes C + ï|-t-T forment ensemble un binôme du premier degré en ii^ Pm -|- Q, dont l'analyse précédente ne laisse pas aisément apercevoir la forme limite. Mais, supposant N el N' infinis, nous avons [)our s, s', c, des quantités infiniment petites; le premier membre a pour limite la fonction

^\u) = *i « j — Gto Ç(i< — a ) -— fji) il( a — b) — . . . —- -Zu Hj u — t).