CHAPITRE XI. — SÉRIES A DOUBLE INDICE

Donc P?/ -h O a aussi une limite finie, quel que soil u ; donc P et Q ont des limites finies. Ainsi notre analyse conduit à ce résultat que ^'(m) se réduit à un binôme du premier degré en a. Il reste à établir que P est nul. C'est à quoi l'on parvient en observant la double périodicité de ^(u)- En effet, de l'égalité

W(u)= P« -T-Q, on déduit

W(U ^ 20J) — W(u) = 2P0J = — 2(0(0— %^. . .— To)t,, T(k -i- 2w') — T(?< ) = 2Po/ = — 2(ao-f- 3o-^. . .— To)t/.

Si donc on veut bien admettre comme établi que Ion n'a pas r,co' — r/(o = o, il en résulte nécessairement P = o, et l'on trouve en même temps que la somme des résidus est égale à zéro. Quoique la relation précise

TCU 7,0)=

ne soit pas encore établie dans l'analyse actuelle (ce que nous ferons d'ailleurs au Chapitre suivant), on peut cependant reconnaître sans nouveau calcul que (r.oj' — r/to) est la moitié d'un multiple impair de f-, et, par conséquent, n'est pas nul. Nous avons, en effet, en partant de la définition actuelle de iu, prouvé (équation 19) l'égalité

nu

qui est vraie toutes les fois que w n'est pas une période. Nous avons donc successivement

CCm-^Î a)'-r-2 0j)

— pir'it t O)'

de là, en multipliant membre à membre,

j ( «f -^ 2w'-^ 2OJ ) ,, ,^, , „, , , ,

D'autre part, les relations

il,(u -h 2 0}'') = tu -^ 2r/

conduisent à celle-ci

t(ji -f- 20J -+- 2Co') = lu -h i{ti -1- r/),

d'où Ton voit qu'avec a ôj = 2(o + ato', on a aussi a fi = ar, + arj'. Comme (oj h- to') n'est pas une période (oj et to' ayant leur rapport imaginaire), l'égalité (29), comparée à la précédente (28), exige qu'on ait

( 3o) e2(Y)w'-r/w) = — I , r, w' — -/j'io = ^ "^ "^ ' (t..

Nous avons donc prouvé par une analyse directe que tout produit de fonctions a*, tel que ^(^u\ est décomposable en une somme d'éléments simples : une constante, et des fonctions ^. Les infinis de la fonction sont supposés différents entre eux, c'est-à-dire tous simples. On peut de là passer aux autres cas, comme on l'a déjà fait au Chapitre VÏI pour une question analogue. Mais notre objet est uniquement ici de conclure la formule fondamentale (22), et c'est ce que nous ferons ainsi : prenons

^, , :^{u-^v):f{u — v) :^{ia)

les résidus sont zn i , et la constante se détermine par la condition

<!)((') = o. On a donc

Divisons les deux membres par d[2a), et faisons « = o. La quantité

' [t{a — u)-^t{aH-u)]

se présente sous la forme -• En prenant le rapport des dérivées, on a pour la limite

ÎL — JH— «) — P«] = — p«-