CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES. 4o

une leltre, savoir

[ q,= U{l-q^'P) =(,g-2)(,^V)(,^G)..., ^ * Q.= n(.+ry^/->) = (i + g) (n-<73)(,-f-^5)....

Entre les trois derniers existe une relation très remarquable el très simple.

Si l'on désigne Q3 par ^(7)

on a

Q2Q3= (I - ry^)( I - ry6)(, ^rio). ..= 0(5,2 ,, (•^4) o(5r).^f-r/)='^(5r2).

D'autre part, en distinguant dans Q, les facteurs où les exposants de q- sont impairs, puis ceux où ces exposants sont pairs et non divisibles par 4? et ainsi de suite, on peut écrire

Qi = ?(-7-)?(- '/*)?(- 5'')----

Par conséquent; en employant successivement la relation (24) où Ton cliange q en q-, en q'', etc., on a

Comme q"^ a pour limite zéro quand n est infini, il résulte de là

(•^5) QiQ2Q3 = i.

L'égalité (21) nous donne

(26) {] = :fMe — 02 '

puis l'égalité (20)

ITZ

C26a) U := j'cj e - = -^;;^ j- ^;

enfin Tégalité (i8) conduit maintenant à celle-ci :

(266) V'=^io'e 2 = -^.

'' r vô

De là nous concluons, d'après les formules (VI, 49)5 les trois quantités y/<?a — e^, simplifiées au moyen de (aS ),

En extrayant les racines carrées, nous en déduisons

j y 2 co

Ces calculs sont tout à fait analogues à ceux du Chapitre VIII {44i 45? 46), et sur les racines quatrièmes des binômes (e, — e-y) il j a lieu de faire la même observation qu'en l'endroit cité. Au reste, le rapprochement sera complet quand, un peu plus loin, nous reviendrons aux séries &. Pour le moment, nous devons conclure des relations (28) : 1° l'expression du discriminant; 2° une identité

(30) Ql + i6gQj = Q|.

Expression de ^u et de pu en séries simples.

On obtient i^u et pu en prenant les dérivées logarithmiques du produit infini cî'w, sous une quelconque des formes (22). Aucune