CHAPITRE XII. — DÉVEL0PPE3IE.MS EX PRODUITS SIMPLES. 4o

Les séries 2r, déduites des développements en produits.

Parmi les cinq formes adoptées précédemment pour les produits a'x, il en est une où l'on a introduit une variable jz, au lieu de l'argument u, et les facteurs sont alors algébriques par rapport à cette variable. Tl est naturel de chercher à en conclure des développements suivant les puissances de :-, et on peut le tenter de deux

manières. Comme les produits s'offrent sous la forme F(^) F( -j>

on peut vouloir développer F(;) suivant les puissances ascendantes de z ; ce mode de développement offre de l'intérêt, mais nous n'en parlerons pas : il n'a jusqu'à présent aucune importance. La seconde manière consiste à développer le produit, comme un polynôme réciproque, suivant les quantités (z-P -\- z^P): c'est par là que nous retrouverons les séries 2î.

Nous allons opérer sur le développement de 3'|, par conséquent sur le produit qu'offre la quatrième formule (19). Pour y arriver, nous considérerons d'abord le polynôme limité suivant :

Il est composé de (2 |j. -f- i) facteurs, et évidemment réciproque,

cest-à-dire ne change point par le changement de :: en -• Il est

impair; son développement ne contiendra que des puissances de z à exposants impairs, dont les extrêmes seront ziz (aui -!- i).

La propriété vraiment caractéristique de ce polynôme consiste en ceci : si l'on y change ; en qz^ les facteurs s'échangent les uns dans les autres; car (cjPz + q~P z~^) devient (</(/'+*• :; -h q''^P'^^' z'^). La modification porte seulement sur les facteurs extrêmes, en sorte qu'on a

(38a) ig-Vz — rj'^z-^)o(gz ) = {q[i-+^z-^ q-^'J-^^^ z-i)^{z).

Si donc on suppose '-^(z) développé sous la forme

4o6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

les coefficients se déterminent immédiatement par l'équation récurrente

^-!^Av i <7^"'-' -^ <7FAv^2v+i = ^jx+i v,, ^ gr-CiA^i) Av,

Av-, = q-'-'' \,' .„^., Av.

D'ailleurs, le terme contenant la plus haute puissance de :; est le produit de toutes les quantités qP z, c'est-à-dire ;-i^+'. Donc Ajj. est égal à l'unité, et l'on a successivement

V ' 1 l — q'^ ^ l — qt ^

Af,., =. ry-a'[^+i' ^' '^ ' ,^ " ^ <7'P-i'(!J.-2',

Mettant maintenant les termes suivant l'ordre croissant des indices, on a le développement cherché, où nous représentons par une seule lettre C le premier coefficient

(i — q'-\>-^*)(ï — </2iJ.-T-6 I. . .( r — yi[J.+2 I - (l-5r2;(, — 5ri)...(i -q'-^) '

(I — gr^H-^ijd— ^2[l+6) ^ \ " -5/

Dès lors que q est, en valeur absolue, inférieur à l'unité, ce polynôme ^ {:■)■, pour a infini, converge vers la somme de la série

La démonstration en est évidente, semblable à celles que nous avons employées plusieurs fois déjà; elle se fonde sur deux faits : i" tout terme de rang déterminé, dans <I^(^), a pour limite le terme de même rang de $, (;;); 2° les termes dont les rangs, dans