CHAPITRE XII. — DÉVELOPPEMENTS EN PRODUITS SIMPLES

<ï>(;), croissent indéfiniment avec ij., forment une somme infiniment petite.

Réunissons dans l'expression primitive (38) de '^(;j les deux facteurs qui répondent à deux valeurs de p égales et de signes opposés, et écrivons

{qi'z -f- q-Pz-^){q-i> z-^ qPz-^) = q-^-P{i-h q^Pz^-)(i 4- q^-i'z--). Il résulte de là

o{z) = q-'--P{z -r- z-^)n(i -^ qV' z^)U{l -h q'^P z- '-). p = i, 2, 3, . . ., ;ji;

ou bien, comme 2 S/? est égal à [ji.(ij(. -I- i),

Quand on suppose [x infini, le numérateur de G devient égal ît l'unité ; nous avons donc

(z-\-z-i)U(i -f- q'-Pz-^)n(i — q'-Pz'"^) n(i — q'-P ) = O'it,- ), /? = 1, 2, 3, ...,y..

Si l'on multiplie <ï>, (:;) par q' et qu'on pose, en outre,

on retrouve alors la série 'XJ-^v (VIII, 22)

\ '^.^v = q* (i>i{z)= iq* cosf tt -\-iq* cos3p- -^ . . .

\ -~-iq' C0S(2/» -H ijt'- + . . . .

Mettant, de même, v au lieu de z- dans le produit et réunissant les termes deux à deux, nous obtenons

(io) 'h'iv — -xq* cosi'-TT(i-4- 2<7'« cosiPT -l-<7-"') | | Ci — 7'")»

m III

/« = 2 , 4 • ..., 2 ;jt ,..., + ^.

A cette relation se joint la suivante, où intervient 2/, f défini par

l'égalité

Si (' = S/o ( ^ — (') = 2 <7 * sin t^ - — 2 ^ * sin 3 r 71 +

( -^ ( — i.)Piq* sin(2/J -+- i)i'-,

(42) ?JiV = iq* sinPTi | 1 (• — 2^'" cos2t^- -l- g--'") J !(• — ^'"),

m = 2 , 4 , • • • j 2 [i. , ... -4- OC.

On peut passer de S, ou l^o à ^3 et S»o par un changement de l'argument v, comme on l'a fait au Chapitre VIII. On peut aussi reproduire l'analyse précédente pour développer le produit qui figure dans l'expression (10) de d^u. C'est ce que nous allons faire en quelques mots.

Prenons le polynôme limité

dans lequel /? acquerra maintenant les valeurs

Ce polynôme, comme le précédent, est réciproque; mais il est pair et de degré ajx. Au lieu de la relation (38 «), il vérifie cette

autre analogue

2!J.— 1 2[JL— 1 \ / 2tH-I 2[l + l

( 2tH-I

\q -2 -^q , z-^)'h{qz)^\q ^- Z -^ q ^ z-^j^{z\

et l'on a, pour déterminer les coefficients, la relation suivante :

<jr-"-- -•'-^- ^

■' l ^yiJI- 2V + 2

En posant alors

ç, ^ (i- q'-\^+^-){i-q'-V-^'*)...{l-q'*V-) {l-q'-)il-q'*)...{l-r-n '