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Les développements que nous venons de trouver olTrent de l'intérêt dans nombre de leurs cas particuliers : nous passerons en revue les principaux de ces cas, et nous commencerons par ceux dans lesquels le second argument v est infiniment petit.

Développement de ^", de w(;<-!-w'), de -pu, pu, etc.

Dans la formule (lo), supposons v infiniment petit; nous avondors

r, Hi'

— COt — = I ;^ — — .

2Cij 210J ' to

Les autres termes de la formule (lo) ayant indi\ idiicllemcnt dc> limites finies, nous obtenons

r UT.- u ■?. - v^ n -

-^— = COt h ■ — > —^

OJ 2 CO 2 10

oj jExi 1 — q-"

On démontre avec la plus grande facilité qu il est permis de dilTérentier successivement les termes de cette série, pour les valeurs de u qui la rendent convergente : ce sont les mêmes que pour la formule (lo).

On a donc, par différentiation,

pu -. = — 2 - 7 — COS ,

W \lM/ . ^T.u Vw/ .^^ \ — q-" ttj

I sin- —