CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EX SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Les lettres m, n désignent ici tous les nombres naturels positils, depuis l'unité inclusivement. Les limites pour «, c ou z-^ l sont les suivantes :
Pour 1^1
Pour \t\
Pour Rf-.-^
Pour Ri
tCi)
■iR R
et
et
el
el
Les deux arguments doivent satisfaire, tous deux, aux conditions imposées par ces limites, dans les séries (26) et (27). Dans les autres, les conditions sont imposées à un seul argument: ?/, pour les séries (24) et (20), r pour les séries (28) et (29).
Si, dans les séries (18) à (23), on remplace — ? — par «, t',
ou, mieux et plus simplement, si l'on remplace dans les seconds membres 10 par ^, ces séries représentent alors la fonction
Sri(M-t-t')5r;(o)
Si l'on fait le même cbangement dans les séries (24) à (29), ces séries représentent alors
73q V Ji II
Si nous prenons maintenant chacun des trois groupes de formules (9) à (i5), (18) à (23), (24) à (29), et que nous y changions u en («-(-to) ou v en (t^-t-to), ou que nous fassions ces deux changements à la fois, nous aurons en tout douze groupes de formules, dont il est tout à fait inutile d'écrire les seconds membres, les changements j étant évidents. Quant aux premiers membres, si on les représente par les fonctions .rJ, on voit immédiatement les changements qu'ils éprouvent. Il suffit de se rappeler les
^24 l'UliMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
formules (YIII, 38 A)
S'uCîi — i) =
272 ii,
STi ( M -1- I ) = -
-STi?/
Hr,(«^i) =
&.,(«-hi) =-
-"b-iu,
SToM,
?j;iU
Observons, en outre, que le groupe de formules (24) 3(29), par l'échange de u, r, correspond en réalité à deux groupes différents, en sorte qu'on peut vraiment envisager seize groupes de forjnules, se déduisant toutes immédiatement des précédentes. Faisant abstraction de v ou mieux considérant cet argument comme •une constante et, au contraire, u comme une variable, nous pouvons dire que chacun des seize groupes de formules donne le développement d'une des seize fonctions "^^^ — '■ , les indices a. 3 recc-
vant les valeurs o, 1 , 2, 3.
Pour revenir aux fonctions d, on n'a qu'à recourir ensuite aux formules du Chapitre VIII (VIII, 35, 4ii 44)^ si Ton ne préfère le calcul direct par les formules du Chapitre VI (VI, 49)- Voici un Tableau des seize fonctions. Elles y sont représentées en abrégé : la lettre a remplace (^^ -\- r); la lettre d est omise, son indice seul est rappelé. Ainsi a signifie 3'(m + i'), «^ signifie d^i u -h r), u et
r, uv
if^x signifient :j 1/ et o'^//; de plus l'exponentielle e " , qui multiplie chaque fonction, est omise. Enfin, comme le Tableau lindiquc, quelques-unes sont multipliées par des facteurs composés avec les trois c|uantilés suivantes, qui nous sont bien connues :
j'toe
ïltO
La première ligne renferme les quatre fonctions déjà envisagées; la seconde celles qu'on a déduites par le changement de u en («-4- (-)); la troisième, par le changement de r en (c -j- w)*, la quatrième par ces deux changements simultanés.
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