CHAPITRE Mil. — DÉVELOPPEMEMS EX SÉRIES TRIGONOMÉTRIQl ES

Sur la racine réelle de l'équation 2?i (\, ty^x ) = o.

En discutant, dans le Cliapitre VIII, la marche de la fonction ^,, nous avons reconnu qu'il s'y présente deux cas très différents quand q est une quantité purement imaginaire. La distinction de ces deux cas est fondée sur la considération des racines réelles x de l'équation ^^({, i\fx) = o, et nous avons annoncé (p. 387) que, dans le présent Chapitre, on trouverait démontrée l'existence d'une et d"une seule racine réelle, comprise entre zéro et l'unité. C'est de la série (33) que nous allons tirer cette démonstration.

Prenant la dérivée, par rapport à u. dans les deux membres (33), faisant ensuite u = ^. puis observant que ?j\ (^) est nul, nous obtenons

Mettons j\/!r au lieu de q, remplaçons le premier membre par zéro et développons la série; nous transformons ainsi 1 équation dont il s'agit (NUI, y:->) en celte autre

Quand x croît de zéro à l'unité, chaque terme du premier membre croît constamment. Le premier membre, où tous les termes sont additifs, croît donc constamment de zéro à 1 intini : il passe une fois et une seule par la valeur numérique du second membre. C'est ce qu'il fallait prouver.

Pour le calcul numérique de la racine x, la forme trouvée au Chapitre VIIÏ est plus avantageuse.

Développement de \i'-z^u et de logrr^t».

On peut obtenir le développenicnl de \q'^ i u en intégrant les deux membres de la formule (3i), ce qui n'offre aucune difficulté :

la constante d'intégration se détermine aisément si l'on observe que le quotient des deux lonctions ^u et — sin — se retiuit a l'unité pour u = o. On obtient de la sorte

I — cos

r, u- , / 2 tû . Tcu \ y^

(35) loga'u^- 1- log — sni , . - /,

De même, changeant, dans (3i), uen (u + w)et intégrant, on a

riTzii

°° / . „ I — cos

., N . o «^ , ■^" "V^( — 1)"<7" w ( 3-) \o", J'i II — h \o" cos ^2 > i —

.' ^ '' ' 2tO ° 210 ^ 1—72" /i

Intégrant de même dans la première relation (34), nous obtenons

ti - u

=0 I — cos

(38) lo- 3-3 11=^ -^ h 2 > - ^ , ■ ,

et aussi, après avoir changé u en (?' H- f'>),

«! , I — cos

(3q) losr 3^9 î< = -^ i- 2 7 • f- •

Au lieu d'invoquer l'intégration des séries, nous pouvons démontrer directement ces quatre dernières formules. Pour établir la première, envisageons la série à double indice

Elle est absolument convergente sous la condition lcl<<l- •

En effet, si l'on suppose ^ et ^ remplacés par leurs valeurs absolues et qu'on réunisse tous les termes où n a une seule et même valeur, ces ternies forment une progression géométrique, dont la somme est

iq-"-^ q'*"-^ q^"^. . .) = "