CHAPITRE Xlir. — DÉVELOPPEMENTS EX SÉRIES TRIGO.NOMÉTRIQUES

puis la série simple, où maintcnanL n varie, est convergenle d'après riivpolhèse.

La série fi^z) étant reconnue absolument convergente, on pcul, sans changer la somme, y grouper les termes à \olonlé. En faisant le groupement dont il vient d'être parlé, posant

/Tt«

el aduiellant qu'on ait, non seulement |5[-< r/\<^''z'^, on obtiendra

5 mais encore

< îo '

Groupons maintenant les termes où, au contraire, lindice m a une seule et même valeur. La somme est

fy.'

■••• = -log(r — 7-^"^2;;

par conséquent

Substituant cette expression àe,f(z) dans l'égalité précédente (40 ), nous aurons

(1 -- qi'" z'i)(\~q^-'"z--i I (l—qi"')i

D'après la quatrième expression (XII, 22) de ii (i en produit, celte égalité peut s'écrire aussi

T, IIîfi>

= '''Sr:

2 eu . -n sin

43o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

et c'est précisément la formule (36), qui est ainsi démontrée à nouveau, sans le secours de l'intégration. La formule (37) s'en déduit par le changement de u en (u + to); on peut aussi la tirer du développement (XII, 19) de s", « en produit. Il en est autant des deux autres (38), (39) qui se tirent des développements de cs'g m et doU (XII, 17 et 9).

A peine est-il besoin d'ajouter que les conditions d'existence pour les formules (36) et (37) sont encore

(4" -^Hw<'^(^.)<^H7^J'

tandis que pour les deux autres, (38) et (Sg), les conditions sont différentes

\iM J \ * w y \ f t'^ /

C'est ce qui résulte le plus nettement du second mode de démonstration.

Développement des douze quotients r',^ u : -i'^u.

Les quotients formés avec les fonctions du, 'i\ii^ d-iii, diU se rencontrent fréquemment. Il est utile de consigner ici les formules qui s'y rapportent. On les obtient immédiatement, au nombre de douze, en supposant c = o dans celles des fonctions, mentionnées au Tableau (3o), où k> est affecté d'un indice.

Pour abréger l'écriture, nous mettrons partout la lettre <7, au

lieu de — ; nous désignerons par m les nombres pairs positifs,

par n les nombres impairs.

Voici les douze formules, en suivant l'ordre du Tableau (3o), lu par colonnes successives. Nous ajoutons l'expression de chaque fonction par les quantités sjpu- — e^, en nous servant pour les constantes U de leurs expressions (VI, 48 et 49), et en employant