J-2W -,W ^IX

1 îl( u -^ o}')du = j ;!('2to -f- oj' — u)du ^ i-f,i<i ^- I Z{(x>' — u)du,

fï»(ai'j= 2T,oj -T- / [!I(?i -J- oj')-l- ^(w' — «)](/;/

«^ 0 = 'ÎTjOJ -^ 2t/oj ^ 'J!T| COJ -f- Oj') — iTT ,

Les pôles de ^u ont tous l'unité pour résidu ; on conclura donc maintenant

(i 8 ) * ( t' ; = -1 r, ( (jj -:- (■ ) — ( 2 «i -;- I ) i -,

expression générale de l'intégrale rectiligne

^ j< du = I '^(u-T- V )du.

La lettre /?? désigne le nombre des pôles intérieurs au parallélogramme oj', co'-T- 2(jj, f -h 2to, ^', ou ce nombre changé de signe,

suivant que la partie réelle de — -. est positive ou négative.

Cette formule (i8) comprend les analogues, qui ont été établies autrement à la fin du Chapitre Vï (p. 200, 201).

Si la fonction f{u) est périodique, la constante c est nulle; en ce cas, tout ce qui a été dit pour v, s'applique à l'intégrale *!'(<') elle-même. Tant que v ne franchit pas les parallèles à la période, menées par les pôles, l'intégrale reste constante.

Théorème de Liouville.

Les éléments de la théorie générale des fonctions fournissent un autre moyen d'établir la théorie des fonctions doublement périodiques et ouvrent une voie qui a été suivie par le célèbre géomètre Liouville à la même époque (environ 1841) dont sont datés les pre- L ^'-*

miers travaux de M. Hermite (')• Il suffira d'établir ici le théorème qui sert de point de départ.

D'après la théorie des fonctions, toute fonction entière dont la valeur absolue (module) ne dépasse pas une limite donnée se réduit à une constante.

Voici la proposition de Liouville, qui s'en déduit: Toute fonction entière et doublement périodique se réduit à une constante.

Une telle fonction, en effet, n'ayant aucun pôle, reste finie dans un parallélogramme des périodes, qui comprend une aire partout limitée. Dans cette aire, la valeur absolue de la fonction est donc fimilée. Mais les valeurs que celte fonction acquiert dans tout le plan sont toutes reproduites à l'intérieur du parallélogramme. La valeur absolue de la fonction est donc, pour tout le plan, limitée comme dans le parallélogramme, et la proposition en découle.

II est à peine nécessaire de remarquer que ce théorème résulte immédiatement de la décomposition (8) en éléments simples. Mais, pour l'apprécier comme il convient, on doit se rappeler le point de vue auquel se plaçait Liouville et montrer comment la décomposition peut, à son tour, s'en déduire.

Prenons, à cet effet, une fonction fractionnaire f{u), ayant les propriétés

Composons la quantité Sp, qui figure dans la formule de décomposition (10).

Cette quantité a, elle aussi, la propriété (19) de se reproduire augmentée de constantes, quand on change u en (^^ + 2(0) ou (m+2w'). La même pj:"opriété appartient aussi à la différence f{u) — Sp. Mais cette différence est une fonction entière, en vertu de la composition de 2p. Sa dérivée est donc une fonction entière et doublement périodique, c'est-à-dire une constante. Donc f{u) — Sp est un binôme du premier degré. La formule (10) se trouve ainsi démontrée, sans qu'on ait eu besoin de recourir aux

(') Sitr les fonctions elliptiques, par M. J. Liouville {Journal de Mathématiques pures et appliquées, ï" série, t. XX, p. 2o3).