CHAPITRE XIV. — APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS

Décomposition des fonctions de seconde espèce.

Voici le procédé original par lequel M. Hermilc a, pour la première fois, exposé la décomposition des fonctions de seconde espèce. Soit <f{u) une telle fonction, ayant les propriétés

Il existe un élément simple <I^(«)' ayant les mêmes multiplicateurs,

^ Cl ^ Il

par un calcul facile, déjà fait ici (p. 228), on trouve

i-p = T, Iog[i.' — ■/•/ log;i., ÏT.a = w' log [i — oj logjji'.

La propriété (i3), appliquée à ^(«), entraîne cette conséquence

^H II — ■ito) = -*(«),

Si l'on prend donc le produit F(;)

on a composé ainsi une fonction de ^, doublement périodique, dont la somme des résidus est nulle. En raisonnant comme on l'a fait dans l'avant-dernier paragraphe, on obtient la formule de décomposition telle qu'on l'a établie au Chapitre \ Il (p. 22(j).

Intégration dans l'étendue d'une période. Soit une fonction fractionnaire /(«), ayant la pr()j)riélé

(i5} /(«+ 2CU)— /(«) = r;

nous considérons son intégrale rectiligne, prise dans l'étendue d'une période, à partir d'une origine quelconque v :

Par difTérentiation, on a, suivant la propriété supposée (i 5),

en sorte qu'on doit conclure

Y étant une constante. Mais cette constante n'est pas entièrement indépendante de ç. Soit, en effet, v^ une autre origine prise pour la même intégrale. Considérons le parallélogramme dont les sommets consécutifs sont

et prenons l'intégrale de /(«) le long de son contour et dans cet ordre. Soit 0 la somme des résidus des pôles intérieurs; l'intégrale totale sera égale à ± ii~^, suivant le sens de rotation qu'amène la disposition de la figure. Les deux intégrales partielles suivant les côtés (p -1-2(0, (',-|-2oj) et (pi, v) ont pour somme c(ri — v), les deux autres sont ^i}') et — ^(i) ), en sorte qu'on a

*((•) — ^(p,) = c(v — vi)± li-y.

Si donc ^(f) est donné par l'égalité (17), on aura

<i)(p-i) = ct^i -^ Y nz 2 t-o = ci^i-i- Yi-

La quantité v, = v zp 2/7:0 est donc, en réalité, non pas une constante, mais une fonction discontinue de v\ ses valeurs diverses sont des constantes successives, qui changent brusquement quand le point P) franchit une droite parallèle à la période 2 w et contenant des pôles de /(«)•

Prenons comme exemple la fonction t;/, pour laquelle la con-