CHAPITRE XIV. — FONCTIONS DE TROISIÈME ESPÈCE

Supposons que, pour ces valeurs de z, ^{^■) reste finie ou, plus généralement, reste inférieure ou comparable à une puissance de z-, d'exposant déterminé. Sïl en est ainsi, la série (20) converge effectivement; car, pour /? := dr oc , l'influence du facteur

/ 7-\ in?i

(jj) ^^^"'?")

disparaît devant celle du facteur q"""', et les deux hypothèses, m positif, q inférieur à l unité en valeur absolue, assurent la convergence.

La fonction ^', définie de la sorte par la série (20), a évidemment une propriété fort simple, relative au changement de x en q- X. D'après sa définition, nous avons

Mais, changeant dans (20) n en (/z-l-i'), altération permise puisque la sommation s'étend de — oo à -|- ce , nous avons aussi

Nous concluons donc (22) W{x) — ic"'W{q-^x).

Le nombre m peut, sans moins de généralité, être supposé entier, et nous ferons cette supposition. Si, en efl'et, m était fractionnaire, avec /> pour dénominateur, on remplacerait x et q par xP et qP] le nouveau nombre m serait entier, et la fonction indéterminée ^{z) serait remplacée par ^(zP).

Si, de plus, on suppose la fonction ^{z) uniforme, la fonction W(^x) sera uniforme, elle aussi.

A chaque point singulier x de la fonction ^{x) correspondent, pour ^^'(j;), des points singuliers, en nombre illimité, formant une double suite (21). Chacun de ces derniers est de même nature, pour ^*(x), que le point correspondant pour 0(jc). Si nous supposons que les points singuliers de ^{x) soient tous des pôles, ceux de *ï''(^) seront aussi des pôles. Mais, comme ces derniers, dans leurs suites illimitées (21), convergent tous vers zéro ou vers

l'infini, W(x) est d'une nature ti'anscendante pour x infiniment petit ou infiniment grand; ce n est pas une fonction fractionnaire. Toutefois cette singularité disparaît, si, changeant la variable, on remplace x par une exponentielle. Soient donc

l-iZllt — W) ITZM

A toute valeur de x correspond, pour u, une infinité de valeurs, avant la forme ifo-{- 2vw, où v est un nombre entier, et à xg-" correspondent les valeurs «0+ 2vco + 2/^ to'. Ainsi chaque point singulier de ^(-p) donne lieu à un seul point singulier de '!^{u) dans un parallélogramme des périodes.

Si donc nous supposons que ^(.r) soit une fraction rationnelle, la fonction '}(?/) est une fonction fractionnaire ayant, dans chaque parallélogramme des périodes, des pôles en nombre égal à celui des pôles de la fonction ^{-X"). Comme x est une fonction périodique de u, à période 2(o, à{u) a cette même période. L'addition de la seconde période donne aussi, d'après la propriété (22) de W(x), une propriété simple. En résumé, à{u) est une fonction doublement périodique de troisième espèce, et l'on a

( ■!/(?/ — 20j')= (—ij"'e " ••!'(«)•

Ces relations, comparées avec les relations générales (5), mon-

Irent que la quantité r^ est égale a m, en sorte que, dans

chaque parallélogramme des périodes, le nombre des racines de 'l{i/) surpasse celui des pôles précisément de m.

Avant d'aller plus loin dans l'étude de la fonction '}(«), il convient d'examiner les caractères particuliers des fonctions de troisième espèce qui ont les multiplicateurs de '^(//). Les fonctions fractionnaires '-^(n)-! (^ui vérifient les relations (i i)

'f ( « — 2 oj ) = Ci ( a ) ec'^i'.