CHAPITRE lY. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES

/dv -j= est un des types des

intégrales ellipliques, dont nous parlerons au Chapitre VII. YÀ in- ^'ersion consiste en ce (jne, par les formules (55), la variable x est explicitement exprimée en fonction de l'intégrale.

Racines de l'équation du quatrième degré.

Le procédé qui vient d'être exposé pour effectuer l'inversion n'exige pas la résolution préalable de l'équation X:=o. Tout au contraire, il fournit les racines de X et peut être envisagé comme une résolution de l'équation du quatrième degré par les fonctions elliptiques. En effet, d'après la seconde égalité (55), les racines de X correspondent aux valeurs de u, fournies par l'équation

u -\- V ^=± u -+- une période, c'est-à-dire

nif et /n-i étant des entiers quelconques. On aura par là quatre valeurs pour x, en prenant les couples /;Z|, m^ ainsi : (0,0), (0,1), (',0), (1,1).

Suivant une relation déjà employée (ag), on a

A l'argument 11^ répond donc, d'aj)rès (55), cette valeur

de X

C'est une racine de X. D'ailleurs, par les l'clations (54), t' n'est déterminé qu'à des périodes près. Donc les racines du polynôme X sont comprises dans la formule unique

OÙ /;?, et /??3 sont des entiers quelconques (auxquels il suffit de donner les valeurs 0,0; 0,1; 1,0; 1,1, pour avoir les quatre racines).

Caractères de réalité des racines.

La formule (07) met facilement en évidence les caractères di.stinctifs des trois cas : 4 racines réelles; 4 racines imaginaires; 2 racines réelles et 2 imaginaires.

i" A =r: 0-3 — 27 «3 = — (S-^ — 2yT-) << o. — Puisque p<^ et p'r

sont réels, l'argument r est lui-même réel, en sorte que ^t' et ^(^ + tOj H- to3 = ^(' + coo sont réels, tandis que :l-r + W| et ^p + W;j sont imaginaires conjugués ; donc, quand le discriminants* — 2^Test négatif, le polynôme X (à coefficients réels) a deux racines réelles et deux racines imaginaires conjuguées.

2° A >- o. ■ — La réalité de J3 v et de ^ v n'entraîne pas celle de v. Nous savons que v est réel dans le cas seulement où j3P surpasse Cl, tandis que jd'c est réel encore quand 'pv est compris entre Co et 63 : en ce cas, t' a la forme a + to', a étant réel.

Ces deux cas se distinguent très facilement par les signes de pv et de p''^». Pour le montrer, considérons les valeurs de pt^ qui font évanouir j/r; soit donc (aS)

Nous avons vu quepv^o est dans l'intervalle (co, Ci), p^'i dans l'intervalle (^3, Co). La fonction jy't' est positive quand pp est

moindre que 1/^' négative quand pp est entre \/ ^ ^^

~*~ ~i/ T' PO^i^i^e au delà de -t/^-

Puisque j3ro= -i/^ est dans l'intervalle (e-j, (?)) et que (?) est

positif, on voit que, si v est réel, J3(^ et jy'c sont positifs.

Si V est de la forme a + to', jdp est dans l'intervalle (cs, eo)- Si

pp est moindre que 1/ ^' P"^ est positif, mais }^v est négatif.

Si pp est supérieur à \/ %'> P"^ est négatif. Donc, si v est de