CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. I

lynôme du quatrième degré Y exprimés comme on le désire, savoir y par (48) et \/Y par la formule

Mais le polynôme Y n'est pas quelconque, il manque du second terme. En développant la formule (49) 6t remplaçant p"v par 6p^i^ — ^g2, on a

( 5o ) Y = y* — 6>'2 p V -^ 4j p'v -î-ff.2—3 p-2 (.'.

Il est facile de modifier les formules pour les appliquer à un polynôme du quatrième degré tout à fait arbitraire. Soit un tel polynôme

(5i) 'K = a^x'*— iaia;^-+- Qa^x-^ ^azo; -^ Ui-

Prenons ses deux invariants

S = ao «i — 4 ^1 «^s ^ 3 «1 ,

T = ao«2«i-^ 2aia2«3 — al — «0^3 — <^i ^4-

On sait, par les éléments d'Algèbre, et l'on vérifie sans peine que, si l'on fait une substitution x =y -\- h, les quantités telles que S et T, composées avec les coefficients du polynôme transformé en y^ reproduisent S et T. C'est une partie de la propriété d'invariance. Choisissons h de manière à faire disparaître le second terme. Soit donc ^

X = ao(7^+6a2 72^4a3 j4-ai),

résultat de la substitution a: ^ ^ + r ; on aura

T = ag(a2a4— a| — a|).

Pour identifier le polynôme Y (5o) avec le nouveau polynôme, nous n'avons qu'à égaler de part et d'autre les coefficients de yet les invariants. Or, pour Y, on a les invariants

Tl = — pt'(^2— 3p2(;) + p3(,p'2ç; == ^.j.

Si donc on choisit les invariants de la fonction elliptique ainsi :

S et T étant les invariants (02) de X; puis l'argument constant v par les deux relations concordantes

on aura X = (7o^. Remplaçant a^ et 7.3 par leurs expressions au moven des coefficients primitifs, nous avons le résultat suivant : Soit X un polynôme du quatrième degré, quelconque,

soient S e^ T les deux combinaisons (invariants)

S =ao«4 — \aia^-T-Za\,

T = aç)aoa<^-^ laïu^a^ — a\ — «o^l — a^a;.

Si l'on prend les fonctions elliptiques ayant les imariants

et un argument constant v par les relations simultanées et concordantes

, , , a} — «0 «7 , «3 al — 3 an rt I «0 ^ ia ? (^4) P^'= -^-^72^' .P^= ^3-^ ■'

et qu'on désigne par u un argument variable, on aura, à la

fois,

i a; = - -' — 1 P'^^~P'^ , (55) ' «0 2 pu — ]^v '

( /X = v/ao[p u-p{u — r)].

On a déjà eu l'occasion d'observer, pour le théorème d'addition, la forme suivante (p. 3o) :

JpU — p(ll-:-v)= - -— i^ ■'-— .

1 du pu — pv D'après (55), nous aurons ainsi

et, par conséquent,

,.„, i djr u rdx

(36) ——du———-, ——z— / — =•

C'est de là que vient au problème actuel le nom à' inversion des