CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES

sont infiniment grands; leurs parties principales sont

P[~ }=- TTTTl •••' JM -

(Sï '-' (0'

donc la racine est infiniment grande; elle a pour partie principale

2" (!) := (Oj^ (a étant égal à i , 2 ou 3, et 03,^0^, 0)3=0/, o).2=- 'ji")- — Rappelons la formation des dérivées successives dej) :

P"'= I2pp', p''^^ 12Jip''— l'-ij^'--

Comme p'oJa est nul, on aura

p"'ojx = o, p"wa = I2,pwo(p"t0a = '2ea,I'"w-a-

De là résultent, pour les premiers termes des développements du numérateur et du dénominateur au second membre de (60), d'après la formule de Tavlor,

p'(a.,-.^j = ^p"co,[i^..,(0-...]; puis, pour le quotient,

enfin, pour les racines,

Comme v' est supposé positif (variant de zéro à v qui est positif), on voit que .r„ est la plus grande des racines, et que les trois autres sont rangées dans l'ordre opposé à celui des cpiantités Ca

11 est d'ailleurs visible, la limite supérieure de - étant inférieure

à la demi-période w,, que les numérateurs p" ne deviennent pas infinis, ni les numéi^ateurs p' nuls pour d'autre valeur de v' que la valeur zéro. L'ordre des racines est donc le même pour u' = o et pour v' = ('. Ainsi, quand les quatre racines sont réelles, et qu'on a choisi v entre zéro et 210,, ces quatre racines étant désignées par la notation

a = o, i, 2, 0, coq = o, elles sont ainsi rangées

Xq ^> X^ ^' Xo J^ X\ .

On préfère souvent choisir v entre — to, et + tOi ; alors on a l'ordre précédent si v est positif, et l'ordre opposé

si v est négatif. On le voit par la démonstration précédente où v' doit être supposé négatif.

Quand deux racines seulement sont réelles et qu'on a choisi *>> entre zéro et awo (le discriminant est alors négatif), on a, suivant la même notation,

Xo> x^.

La démonstration précédente s'applique à ce cas où jc, et x^ doivent être laissés de côté comme imaginaires. Ici encore, si l'on prend v entre — coo et + Wo, on a

^0> ^2 ou Xi > ^0)

suivant que v est positif ou négatif.

Variation simultanée de la variable x et de l'argument u.

Une discussion facile, mais nécessaire^ va nous montrer comment varie l'argument u, quand x passe successivement par toutes les valeurs réelles. La liaison entre ces deux variables est celle que donne la relation (55)