CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES

Pour chaque valeur de x, il y a, aux périodes près, deux valeurs de u, la solution u= ç étant rejetée de l'équation (Gi). D'après le théorème d'addition (I, 20), la somme des deux arguments u est égale à — v.

Nous allons reconnaître aisément quels sont ces arguments u suivant la grandeur de x. La discussion sera fondée sur l'expression déjà trouvée pour la dérivée de x par rapport à u (56)

Cette dérivée diffère de X seulement par le facteur constant \/ao', elle est nulle dans le cas unicjue où x devient égal à une racine de X. Rappelons-nous que ces racines correspondent aux

valeurs de u ayant la forme u = \- w^.

Cas où les quatre racines sont réelles.

Prenons d'abord le cas le plus compliqué, celui où les quatre racines de X sont réelles (discriminant positif); v est réel, nous choisissons cet argument entre zéro et 210,. Rappelons que les racines de X sont

Soit, en premier lieu, u^ [- 1, et prenons t réel, croissant

de zéro à -• La valeur initiale de x est la racine Xq^ la plus grande des quatre. D'après (G2), nous avons

Cette dérivée ne devient pas nulle; effectivement ses racines sont les demi-périodes, la limite supérieure de t esl--<c.),, et l'on voit que y- est nul au début pour ^ = 0, mais ne l'est plus ensuite. Elle ne devient pas infinie non plus, sauf à l'extrémité t=z -' Son signe est donc invariable, cl toujours positif; car, - étant moindre que w,, p' -est négatif. Donc x croît avec t. Aux

mêmes valeurs de x correspondent en même temps les secondes

racines de (61); les premières croissent de à zéro, les secondes

décroissent de — - à — r. Voici donc un premier résultai :

Quand x croît de Xq à -^ 00 , a croît de à zéro, ou dé-

croit de a — c.

Faisons croître maintenant ^ de - à oj, . Dans cet intervalle

-^ ne devient pas nul; il a passé par l'infini, mais sans changer

de signe. Il est donc positif, et x croît constamment de la valeur initiale — o) à la valeur finale x^. Prenons en même temps la seconde racine u de (61), et concluons que :

Quand X croît de — co à Xi, u croît de zéro à — - 4- co,^ ou décroît de — va — ( — h W| ) •

Soit mamtenant t = is, s étant réel et croissant de zéro a -4 •

On aura

Le signe de cette dérivée est encore invariable, dans l'intervalle

considéré, et, p' - étant négatif, ce signe concorde avec celui de

it =^ — s; c'est le signe moins. Donc x décroît depuis la valeur initiale x^ jusqu'à la valeur finale X3. Donc :

Quand x croît de x^ à x^, if -h ~ est purement imaginaire,

1 / ''\ 7 ' ^ 7 w.-i < ' -.^7 W3 ^ , et - { u ^ — décroît de -^ a zéro ou croit de -a zéro.

Faisons t =^ co, + /,, nous pouvons écrire

r/x dx dt " dt.

p / i toi - t,J - P ( ^ — ^1 --l- ^1)

sous la forme

d.r dx I •' , \ / t'

dt dt.

= P wi

(coi-^-^i)-p(co,-i'-/.)

(pii coïncide avec la forme (()3), sauf le signe cl le changement de r

CnAPITIŒ IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. I 29

en (2CO] — r). Ce second argument est, comme v, entre les limites zéro et oj, .

Si nous supposons maintenant /, = is, et que s varie comme

cIt tout à l'heure, -j-, sera positif; donc :

Quand X croit de x, à Xo. u -\ to, est purement imaginaire; son quotient par i croit de zéro à -^ ou décroît de

zéro a ^ ^-'

Il ne reste plus à examiner, pour x, que l'intervalle (j^j, x^).

On obtient ces valeurs de x en supposant

U = i- CO3 -{- ^

et faisant croître la variable réelle ^ de zéro à to,. Nous aurons alors

dt

quantité dont le signe est encore invariable dans l'intervalle assigné à t. Ce signe est opposé à celui de p'( oj;, -f- - ) , et nous savons

(p. 4>^) que c'est le signe moins, - étant moindre que oj,. Donc X décroît ; en conséquence :

Quand X croit de x^ à X;,, u -] 0)3 est réel et décroît de w,

à zéro, ou croit de — w, à zéro.

Cas où les quatre racines sont imaginaires.

de Ce cas est bien plus simple; on sait que -j- ne devient jamais

nul, et que (t^ — (O3) est réel. Choisissons ce dernier argument

entre zéro et 2 to, .

dr Si l'on prend u réel, x est toujours réel, et -j- positif. La seconde valeur de u est alors une quantité réelle, à la demi-période (03 près. En conséquence :

Quand x croit de — 00 à -\- co .^ u est réel et croit de zéro à 20J,, ou bien [u + w-i) est réel et décroît de 210, — (p — -(03) à — (^' — W3).

l3o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Cas OÙ deux racines sont réelles et deux imaginaires.

Le discriminant est alors négatif, f est réel. On prend cet argument entre zéro et awo. Les racines de X sont Xq^ x.^ et l'on a

Les raisonnements faits pour les trois premiers cas dans l'avantdernier paragraphe s'appliquent ici sans modification. Il n'y a qu'un changement dans la notation, et voici les conclusions :

Quand x croît de x^^ à -\- ^ ^ u croit de à zéro, ou décroît

de à — V.

Quand x croit de — ce à x-y, u croît de zéro à h too; ou

décroît de — r « — ( — h (

Quand X croit de x-y à x^^ u + - est purement imaginaire,

et -. (u ^ — décroît de -^ a zéro ou croit de i \ ■). i

—^ a zéro.

Inversion en quantités réelles.

L'inversion en quantités réelles consiste à faire varier u de telle sorte que, non seulement x, mais encore y^X, soit réel. Nous venons de voir comment varie u quand x est réel. La seconde condition n'offre aucune difficulté.

Quand les cjuatre racines de X sont réelles, on doit prendre

u réel ou bien u — toj réel, si a^ est positif; u-\ — ou bien u -\ oJi purement imaginaire, si a^ est negatij .

En effet, x est ainsi dans l'un des intervalles où '— est positif dans le premier cas, négatif dans le second.

Quand les cjiiatre racines de X sont imaginaires, on doit prendre u ou bien u + Wg réel, si «o ^st positif. Si «o était négatif, le problème serait impossible, y^X étant toujours imaginaire.

Quand deux racines de X sont réelles et deux imaginaires,

on doit prendre u réel, si a^ est positif; u -\ — purement imaginaire, si ao est négatif.