CHAP. VIF. — DÉCOMPOSITIONS EN" ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS

Supposons que b^^ 0-2, . . . , 6u, dépendent d'une variable x, atteignent, pour X = G, la valeur commune b, et que leurs dérivées aient, à cette limite, des valeurs finies toutes différentes entre elles. Chacun des résidus R(, Ro, . . ., R|j., comme on le voit dans (29), contient en dénominateur ( a — 1) facteurs tJ", dont les arguments sont des différences de ces quantités b. D'après nos suppositions, chacun de ces résidus, pour j: évanouissant, est infiniment petit de l'ordre {[■>■ — i), x étant l'infiniment petit principal. Tousles autres termes de l'égalité (33) conservent des valeurs finies; il en est donc de même de la somme des |jl termes considérés. Cette somme s'offre donc sous forme indéterminée. Son dénominateur commun est infiniment petit de l'ordre (a — i)-, sa valeur limite s'obtient donc en remplaçant le numérateur et le dénominateur, chacun par sa dérivée d'ordre (;ji — i). Cette somme, au point de vue de la quantité u, est linéaire par rapport aux a quantités <î>(« — b^). La dérivée d'ordre {•j. — 1) de f^{u — b^) est composée linéairement avec cette quantité elle-même et ses ( |jl — i) premières dérivées <]&', <ï)", . . ., <ï>^!^~'^ Puisqu'enfin^i, ^:., ..., 6(jl ont la limite commune b, l'expression limite de la somme est une fonction linéaire de <t(w — b), $'(u — b), . . ., ^'•^~^'>{u — b). Donc la formule générale de décomposition peut être écrite ainsi

Le signe sommatoire s'applique aux divers infinis b de la fonction F(i^), et la lettre <j. représente l'ordre de multiplicité de cet infini.

Quant à la manière dont on pourra déterminer directement les coefficients, elle est, de tout point, semblable à celle qu'on a expliquée précédemment pour les fonctions doublement périodiques ordinaires ; c'est aussi la même que pour les fonctions rationnelles algébriques. Effectivement, chacun des termes mis en évidence au second membre de (34), étant développé suivant les puissances ascendantes de (u — b), fournit un seul terme à exposant négatif, tandis que toute la partie relative aux autres infinis fournit seulement des termes à exposants positifs. Le développement de F(w) suivant les puissances ascendantes de (u — b) contient donc, pour seule partie fractionnaire, l'ensemble

aSo PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

En formant directement ces termes, on aura les coefficients. Le dernier R est le résidu.

Exemple de décomposition.

Voici un exemple où il se trouve un seul infini, mais double :

j ' Il

a'{u — «1)= — (faid — if ^«1-4-. . .)) a'(« — «2) = — 3'«2(i — « Î^ao-H. ..))

■s'il = u (I V- "^

{<ïu )'^ u^ \ 1 20

F(w) = o-a, cr-rtï ^ -H (? — ?«! — ^«2)- -i---- h

J'ai tfaa

En particulier, si l'on prend p=^rt, + î^rt2, on a cette formule, qui se présente dans des applications,

'^ ' :iai(ia2 [{^uf du\^ c'a J

Développement des fonctions de seconde espèce.

Les développements qu'il faut employer pour déterminer les coefficients de la formule (34) s'offrent sous une forme très incommode; la présence des dérivées successives de a" y serait fort gênante dans les applications. Voici comment on peut, à leur place, amener dans les coefficients les fonctions p et p'.

Prenons d'abord la fonction, un peu moins générale que <I>,

^ ' :iv -j it

dont la dérivée logarithmique

CHAP. VII. — DÉCOMPOSITIONS EN ÉLÉMENTS SIMPLES ET EN FACTEURS. a3 I

se développe ainsi (voir le développement de "^u : V, 1 1)

'i ( K ) u •>. \ () Go

= i- Ao !- A.1 r- A i

Intégrant aux deux membres, observant que [it ^{u )'\u-<) est

l'unité et posant

-, . "■- . 11^ . Il'*

f(u)^k, h A3 5 -Ai 5-T --•••-

on conclut

Cf,(ii) = -e/^"'= - I-:-P2 h P3 T^Pi

P2 = A,, P3=A3, Pi = Ai-3Al,

Ps = A5--10A2A3, p6 = A6^i5A,Ai+.oA|--i5Al,

et ainsi de suite. Nous avons, d'autre part,

A.2 = — p i-, A3 = — ,p' i-, A V = — jV ^'-"'^^

Réduisant les coefficients P à ne contenir que j)r et p't', nous trouverons successivement